本網訊（通訊員田宇曦）2021年4月22日中午12點半，beat365体育官网在振華樓B107報告廳舉辦了第十二次教師午餐研讨會活動。邏輯學教研室申國桢老師作了關于“無窮：從模糊到精确 ”的主題報告。學院20餘名老師參與此次午餐會活動。

首先，申老師指出無窮一開始是十分模糊的概念，直至19世紀末這一概念才逐漸變得清晰。無窮二字最早出現于張衡的“宇之表無極，宙之端無窮”這一句話，表示了宇宙的無邊無際、無限延伸。而後，在報告中申老師先向大家闡釋了無理數的發現和第一次數學危機。他指出是由畢達哥拉斯學派開始提出萬物皆數，萬物皆數指的是一切事物都可以用自然數表達出來，比如有理數的小數點後數可以無限但有循環節，因此可以被看作是有窮的對象。他詳細地介紹了無理數産生的曆史，無理數的産生源自于畢達哥拉斯定理即勾股定理的出現，導緻了畢達哥拉斯的門徒希帕索斯發現了第一個無理數根号二，希帕索斯發現當一個直角三角形的兩個直角邊都是1的時候，斜邊就是一個無理數。申老師強調無理數是無限的不循環小數，根号二作為第一個無理數是無法完全認清的數。然而，申老師指出希帕索斯的原始證明已經無從得知，現在最常見的無理數證明是歐幾裡得在幾何原本裡面對根号二是無理數的證明。并向大家解讀了歐幾裡得的五條公理與五條公設，強調歐幾裡得的幾何原本一書是第一個用亞裡士多德的形式邏輯構建無理數的範本。同時，通過亞裡士多德的“無窮的真正含義，不是此外全無，而是此外永有。”這一句話，申老師解釋了潛無窮和實無窮這兩個概念，潛無窮是無限更疊的、不斷延伸的東西，而實無窮是實在的物體，是可以把握的東西。

接着，申老師分析了第二次數學危機與分析的算術化。他詳細地介紹了伽利略悖論，伽利略發現兩個同心圓上的點是可以一一對應的，而自然數和偶數也是可以一一對應，這就與歐幾裡得的整體大于部分這一公理産生了矛盾，無窮成為了無法認清的概念。後面，他介紹了第二數學危機引起的震動。首先笛卡爾解析幾何的創立标志了微積分的誕生，牛頓在笛卡爾的基礎上創立了微積分，但是微積分随意使用無窮小量，把無窮小量當做實無窮存在着一些問題。申老師強調微積分創立初期存在的邏輯混亂問題，是因為一開始人們處于應用的角度，主要在構建上層的建築而忽視了底層的基礎。而直到19世紀中後期，柯西創立了極限理論，通過極限理論嚴格定義微積分，才通過潛無窮理論化解與解釋實無窮理論。維爾斯特拉斯的實數理論嚴格構造了實數，已經可以清晰說明無理數和極限理論。到了19世紀末期，皮亞諾、弗雷格等人可以清晰地解釋了自然數。

緊接着，申老師分析了無窮集合論與第三次數學危機。從弗雷格與邏輯學的公理化開始談起，申老師指出弗雷格在《概念文字》這篇文章中把邏輯學公理化，雖然對現在來說其中有很多公理是不必要的，但是不可否認這一開創性工作是現代邏輯的起點。申老師也詳細解釋了康托創立的無窮集合論，他指出康托真正地把實無窮作為對象引入集合，提供了認清無窮這一概念的一種重要方法，康托放棄了整體大于部分這一公理，把無窮區分為可數的集合和不可數的集合，可數的集合可以和自然數一一對應，有理數集合就是可數的集合而實數集合是不可數的集合。并且強調康托的無窮集合論是對當時超越數的這一問題的一種解決方式。同時，申老師指出弗雷格在康托基礎上提出了外延公理和内涵公理，然而羅素指出内涵公理是不理智的，通過理發師悖論證明了漫無目的使用内涵公理會出現問題。并強調了羅素通過對概念的分層而把數學還原為邏輯的基本立場。而後，申老師又介紹了其他數學家的觀點，如希爾伯特走形式主義路線放棄集合論而在數學公理中一步一步論證，哥德爾認為希爾伯特路線走不通，我們無法證明集合中的矛盾隻能持觀望态度。

最後，申老師以希爾伯特的“我們必須知道，我們必将知道”這一句話結束這次報告。老師們也對公理、邏輯等相關問題展開了深入的讨論，如周老師就提出了現在的集合論是否存在危機，這一危機是什麼？以及無理數是否是實體存在的物體即實無窮的存在的這兩個問題。李勇老師從相對主義角度出發讨論數學、邏輯、公理這些東西是否是獨立的、必然的、客觀存在的這一問題，以及排中律的可靠性問題。

（編輯：鄧莉萍   審稿：嚴璨）