本網訊（通訊員 楊新宇）7月31日至8月4日，應我院程勇教授邀請， 比利時根特大學數學系Andreas Weiermann教授來我院振華樓B214作了連續五場“具體不完全性”的系列講座。講座形式采用線上線下混合形式，通過Bilibili和Zoom平台向海内外觀衆直播，每場講座平均超過350名觀衆參與，本系列講座由程勇教授主持。著名邏輯學家Harvey Friedman也在Zoom平台參與了講座。

Andreas. Weiermann教授是國際知名邏輯學家，是證明論和具體不完全性領域的領軍人物，本系列講座以證明論及序數分析的進路介紹具體不完全性，從證明論的基本結果出發，以可證遞歸函數的分層定理為工具，證明了Paris-Harrington和Friedman等構造的組合語句相對于Peano算術的不可證性，并讨論了從可證性到不可證性的“相變”（phase transition）問題。

在第一場講座中，Weiermann教授回顧了數理邏輯的發展史，将具體不完全性研究置于數學基礎研究的關鍵位置，突顯了該領域的重要意義。随後Weiermann教授回顧了謂詞邏輯的Cut-elimination定理這一經典結果，為之後的講座作了技術準備。

在第二場講座中，Weiermann教授講授了Peano算術的證明論。Weiermann教授将不超過ϵ₀的良序以有窮數列的哥德爾編碼表示，從而證明了對于任意小于ϵ₀的序數的歸納原則在Peano算術中都是可證的。基于這一事實，Weiermann教授證明了對于遞歸函數的Hardy分層，下标小于ϵ₀的Hardy函數在Peano算術中都是可證遞歸的，即Peano算術可以證明其是全函數。另一方面，下标為ϵ₀的Hardy函數卻不是可證遞歸的。為了建立這一結果，Weiermann教授通過對添加Buchholz控制算子的無窮推演形式的Peano算術的序數分析證明了歸約引理(Reduction Lemma), 進而得到了Hardy函數相對于Buchholz控制算子的有界性。

在第三場講座中，Weiermann教授給出了Paris-Harrington語句不可證性的完整證明。與文獻中已有的經典證明不同，Weiermann教授直接在序數标記(ordinal notation)上應用Ramsey理論，以序數的秩為工具，構造了一個巧妙的染色函數，得到了Hardy函數相對于Paris-Harrington函數的有界性。 由下标為ϵ₀的Hardy函數非可證遞歸這一結論得到了Paris-Harrington語句不可證性。

在第四場講座中，Weiermann教授基于下标等于ϵ₀的Hardy函數非Peano算術可證遞歸這一結論證明了Friedman式的若幹組合語句（Hydra博弈的必勝性（H）、ϵ₀的緩慢良序性（SWO）、有窮樹的Kruskal定理（FKT））相對于Peano算術的不可證性。并且Weiermann教授還基于Hydra博弈的必勝性的不可證性證明了Goodstein序列終止性的不可證性。

在第五場講座中，Weiermann教授讨論了上一講中得到的不可證語句的“相變”問題：即若某個特定的組合數學定理附帶一個遞增函數為參數，這個函數增長速度快到何種程度可以使其在Peano算術中不可證。Weiermann教授以解析組合學(analytical combinatoric)和複分析為工具，讨論了組合語句H、SWO和FKT的相變問題。

本系列講座深入淺出，既易于一般的數理邏輯學習者入門具體不完全性這一領域，又深刻诠釋了數理邏輯同數學其他領域的密切聯系，反映了不可證現象背後的數學本質。在一些經典結果的證明上，Weiermann教授往往另辟蹊徑，将序數這一工具使用得出神入化，令人耳目一新、拍案稱奇。

（編輯：鄧莉萍   審稿：嚴璨）