本網訊（通訊員時尚）10月20日晚，西班牙巴塞羅那大學哲學系David Fernandez-Duque教授做了主題為“古德斯坦定理與不完全性”的線上講座，beat365体育官网官方哔哩哔哩賬号全程轉播。該講座由我院程勇教授主持，來自國内外200餘名聽衆參加此次線上講座。

Duque教授2008年在斯坦福大學取得數學博士學位，他在證明論、可證邏輯、模态邏輯等領域作出了傑出貢獻。

Duque教授的報告，由淺入深、詳略得當，并介紹了許多新的研究成果。

本講座先從經典的“古德斯坦定理”開始，講述它在不完全性現象研究中的重要意義；之後引入了新的定義和記号，提出新的想法從而在新的系統中得到更強的結論。

第一部分主題是古德斯坦定理的證明，并進一步給出了“古德斯坦漫步”上的類似定理。古德斯坦定理是人們發現的一個在PA中不可證的關于自然數的真命題：無論初始值是哪個自然數，古德斯坦序列都會在有限步之後收斂到0。Deque教授介紹了項的基底-指數形式，以及一個重要的操作——基底變換。然後引入超窮基底變換，将我們在自然數中得到的一些結論推廣到e₀中。通過将古德斯坦序列中的基底變換為w，構造出序數中的嚴格下降鍊，巧妙地證明了該定理。為保證證明的可靠性，Deque教授先證明了有關基底變換的最大性和單調性的相關引理。受此啟發，我們可以構造出新的序列“古德斯坦漫步”，并且證明了該序列也會在有限步終止。

第二部分主題是證明古德斯坦定理在PA中不可證，即該定理獨立于PA。Deque教授首先遞歸地定義了序數的“基本序列”，然後引入了一個快速增長的函數——哈代函數。我們使用一個重要的定理——在PA中可證的可計算函數都可以被哈代函數最終控制住。通過巴赫曼性質給出該快速增長層級的上界。這個定理使我們可以從局部的性質推廣到整個函數上。 然後證明表示古德斯坦序列終止長度的函數不被哈代函數所控制，進而證明了古德斯坦定理在PA中不可證。

第三部分介紹了教授本人的相關研究，在前兩部分的基礎上延伸出更深的結論。原本的古德斯坦序列建立在指數上，但現在我們有更快的增長函數。比如阿克曼函數，它也是一個可計算但不是原始遞歸的函數。在介紹阿克曼項的時候，教授講了k-基底阿克曼項，還補充了“三明治标準型”。證明了阿克曼古德斯坦漫步也是有限的。接下來證明該定理在ATR₀中是不可證的。ATR₀是一個二階算術的子系統。通過不動點定義了一個新的序數G₀，然後定義了類似哈代函數的概念，并證明了在ATR₀中不可證明該函數是全函數。然後類似第二部分可證如下命題在ATR₀中不可證：阿克曼古德斯坦序列在有限步内終止。最後Duque教授指出該定理在ID₁中也是獨立的。另外，快速增長的函數都可以用來作為新的記号導出更強的古德斯坦定理。 最後Duque教授介紹了他的學生在做的在更大的序數上得到的更強的獨立性命題。

在評論互動環節，Guillaume Aucher教授與Duque教授讨論了關于PA中可計算函數最終都被哈代函數所控制的定理的證明思想。 然後程勇教授指出廣義的古德斯坦定理與e₀長度下的超窮歸納原則等價。之後程勇教授與Duque教授讨論了古德斯坦定理與PA的一緻性間的關系，阿克曼古德斯坦序列的有限終止性是否等價于G₀長度下的超窮歸納原則，及快速增長的函數類的選擇對古德斯坦定理獨立性證明的影響。

最後，程勇教授感謝David Fernandez-Duque教授帶來的精彩講座。至此，本次講座圓滿結束。

（編輯：鄧莉萍 審稿：嚴璨）