本網訊（通訊員時尚）11月8日晚，紐約大學哲學系助理教授James Walsh做了主題為“不完全性與序數分析“的線上講座，由Bilibili平台全程轉播。講座由我院程勇教授主持，來自國内外200餘名聽衆參加此次線上講座。

James Walsh博士在加利福尼亞大學伯克利分校取得了邏輯學博士學位，他在數理邏輯和數學基礎等領域均有傑出貢獻。本次報告技術性較強，多為報告人的最新研究成果。但沃爾什博士報告結構清晰，使得各個水平的聽衆都有所收獲。該報告主要分為兩個部分。第一部分使用序數分析證明了一個類似于哥德爾第二不完全性定理的結果，第二部分深入讨論如何刻畫序數分析。

第一部分Walsh博士從哥德爾(Gödel)第二不完全性定理和根岑(Gentzen)的一緻性證明出發。原初的哥德爾第二不完全性定理的證明使用了自指的方法。雖然該方法非常巧妙且結果具有普适性，但自指或對角化的方法是一種純邏輯的非具體的方法。而根岑在PA的一緻性證明中使用的序數分析是一種具體的方法。根岑在證明中引入了序數分析的方法。于是Walsh博士提出可以嘗試使用序數分析證明第二不完全性定理的類似版本，從而避免了使用對角化方法。

首先通過幾個等價定理，Walsh博士在二階算術下得到一個類似于哥德爾第二不完全性定理的結果，此結果與第二不完全性定理并無嚴格的強弱關系。 在二階算術語言下形式化“良基”的概念後，Walsh博士給出了斯佩克特(Spector)定理，使用該定理可以證明第二不完全性定理的類似版本。但是斯佩克特定理的标準證明中實際上也用到了對角化方法，那如果我們可以避開對角化來證明斯佩克特定理，就達到了不使用對角化來證明此第二不完全性定理的類似版本的目标。而事實上這是可行的，貝克曼(Beckmann)和波勒斯(Pohlers)利用類似根岑的證明技巧，即在一個無cut的證明演算中分析證明的良基秩。

第二部分Walsh博士提出問題：序數分析究竟是什麼？沃爾什博士指出我們可以從劃分和序關系的角度來刻畫序數分析。Walsh博士證明了序數分析劃分實質上是唯一的最好的Kreiselian劃分。序數分析引出了理論強度的排序，但是之前存在多種不同的定義強度的方法，而且這些方法并沒有很好的關于序的性質。沃爾什博士通過給出可證性的另一表述形式統一了之前的傳統理論間強度序關系的定義。

在評論互動環節，程勇教授認為報告結構清晰，思路明确，以易懂的語言将前沿的定理呈現給聽衆。之後程勇教授與報告人就第二不完全性定理的二階類似版本是否可以擴充到AC₀上，及比較不同理論的強度的不同方式的優劣比較展開讨論。

講座結束後，程勇教授對James Walsh博士帶來的精彩講座進行了評論和總結，同時也對James Walsh博士表達了感謝。

（編輯：鄧莉萍 審稿：嚴璨）