本網訊（通訊員 時尚）1月 15日晚，圖賓根大學Reinhard Kahle教授作了題目為“何為一緻性證明以及它們應該是什麼（What are consistency proofs and what should they be）”的報告。Kahle教授是國際科學哲學研究院的正式成員和副主席，研究領域包括數理邏輯、證明論、數學哲學、科學哲學等。講座由我院程勇教授主持，本次講座線上參與者達280餘人次。

Kahle教授從曆史的角度回顧了一百多年來一緻性證明的起源和發展。他詳細介紹了各個時代的邏輯學家從數學、哲學的角度提出的方法和新的挑戰，并強調了一緻性證明對數理邏輯的貢獻和其哲學意義。

一緻性問題的起源可以追溯到十九世紀末，當時康托爾創立了素樸集合論，旨在形式化地構建數學對象。然而，随着這一理論的廣泛應用，許多悖論也随之出現，其中最著名的便是羅素悖論。為了解決這些問題，希爾伯特在1900年國際數學家大會提出了一個雄心勃勃的計劃，旨在通過證明論來确保數學的一緻性。他相信，我們可以通過一整套嚴格的方案，規定隻能用有限長的證明，無可辯駁地給出整個數學的一緻性。他打算先給出公理化的算術系統的一緻性，再證明數學分析、集合論的一緻性。

1904年希爾伯特本人給出了一緻性證明的一個版本，他的形式系統包含了算術等式但是不包含歸納。龐加萊注意到嘗試證明一緻性的做法會是一種循環論證，因為我們需要用到歸納才可以證明不會産生矛盾式。與此同時，以布勞威爾（L. E. J. Brouwer）為代表的直覺主義邏輯的學者對更多的數學概念提出了新的質疑。他們認為排中律在無窮論域下不是恒成立的，實數并不能用自然數的幂來表示。希爾伯特最優秀的學生赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）也加入了直覺主義的陣營，這也迫使希爾伯特等人加快了解決一緻性問題的進度。

希爾伯特在二十世紀二十年代提出了“希爾伯特綱領（Hilbert’s Programme）”。他使用有窮數學作為元理論，一方面理論本身是一緻的，并且因為僅包含有限的對象所以排中律在該理論中是可驗證的，；另一方面該理論僅包含一個弱的歸納，使用弱歸納去驗證強歸納。這回應了布勞威爾和龐加萊等人的質疑。然而，哥德爾在三十年代相繼證明了哥德爾第一不完全性定理和第二不完全性定理。這些定理指出，一個包含較弱算術的一緻形式理論無法證明其自身的一緻性。這使得希爾伯特原有的構想無法實現，但也引發了人們對于數學基礎和一緻性證明的更深入思考。

1936年，根岑（Gentzen）在前人的基礎上提供了一種PA（Peano Arithmetic）的一緻性證明。他提出有限數學可以等價于原始遞歸算術（PRA），并使用擴展到e₀的歸納證明了PA的一緻性。該結果并不違背哥德爾不完全性定理，因為PA本身無法證明擴展到e₀的歸納原則。此外，根岑認為，一緻性證明作為一個數學證明，必須使用某些已有的推論和概念，這些已有的結果必須預先假定是一緻的，即沒有“絕對的一緻性”。根岑通過一緻性證明創立了“序數分析”，也再次引發了人們對數學基礎的思考。

Kahle教授在報告中總結了現今證明論領域的研究思想和不同的概念框架，以及不同框架間的不同系統的關聯。最後Kahle教授介紹了更加前沿的内容。他先引用了Hugh Woodin,Gaisi Takeuti等人的觀點，之後Kahle教授指出，一緻性證明經曆一百多年的發展，雖然與希爾伯特當初提出時的研究目的并不相同，但邏輯學家在提出問題、解決問題的同時不斷産生新的思考，推動學科的發展。因此，一緻性證明是數學證明結構理論的核心。

在評論互動環節，牛津大學Daniel Isaacson教授對講座内容進行了簡練的總結，并與Kahle教授讨論了Bernays和Kreisel對一緻性證明的觀點。之後程勇教授提問是誰首次提出了一緻性和不完全性問題以及其研究意圖是什麼。Kahle教授回應因為一些曆史原因他也并不清楚究竟是誰提出的，但是他給出了自己的看法和推理。程勇教授和Kahle教授也深入探讨了一緻性問題在數學基礎和數學哲學中的意義，及構造性序數分析的限度。至此本次講座圓滿結束。

（編輯：鄧莉萍 審稿：劉慧）