本網訊（通訊員彭文楷） 6月7日晚，應beat365体育官网陳波教授邀請，德國帕德博恩大學科學技術哲學榮休教授，A&HCI期刊《邏輯的曆史和哲學》主編、德國紐倫堡埃爾蘭根大學哲學博士，沃爾克·佩克豪斯（Volker Peckhaus）作BEAT365唯一官网邏輯與哲學系列講座第78講：“尋找基礎：數理邏輯和數學基礎的前史”。本次講座由陳波教授主持，beat365体育官网程勇教授評議。國内外共450餘名聽衆參與本次線上講座。

陳波教授主持

佩克豪斯教授主講

佩克豪斯以一系列圍繞數理邏輯和數學基礎的問題作為本次講座的切入點：數學家研究哲學的原因是什麼？哲學與數學的關系是什麼？數學上的哪些發展導緻需要重新考慮有關數學基礎的問題？希爾伯特（David Hilbert）的公理化綱領是一種哲學性的綱領嗎？哲學家們從希爾伯特綱領中得到了什麼啟發？以及什麼導緻了作為學科的數理邏輯與數學基礎的誕生？基于這一系列問題，佩克豪斯對數學哲學的發展曆程進行了思想史式的梳理，并在其中着重讨論了希爾伯特的相關思想及其工作，以及它們在當時和後來所造成的影響。

在研究相關問題之初，佩克豪斯就注意到，大部分數學哲學的工作都是由典型的數學家而非哲學家完成的，那麼為什麼這些數學家要去研究哲學呢？佩克豪斯認為，數學家們的動機顯然在于尋求某種答案，但問題不在于此，而在于為何數學問題的答案會變成哲學問題。這涉及到哲學與數學之間的關系。佩克豪斯主張将其在思想史上追溯至康德（Immanuel Kant）的哲學。康德的數學哲學建立在純粹直觀的基礎上，這種直觀是先驗的，因而區别于那些經驗的感性的直觀。他引用《純粹理性批判》中的“哲學的知識是出自概念的理性知識，而數學的知識則是出自概念之結構的理性知識。但是，構造一個概念，也就是先天地展示與該概念相應的直觀”，并指出在這種關系之下，哲學和數學并不是對等的，關于數學的哲學是可能的，而關于哲學的數學則是不可能的。

遵循康德的這種将數學和概念結構、純粹直觀聯系起來的思路，從十九世紀關于數學基礎的研究中誕生了結構數學（例如非歐幾何、代數、集合論）和數理邏輯，其中最具代表性的是圍繞希爾伯特的公理化綱領展開的一系列工作。希爾伯特區分了使用公理系統和構造（尋找）公理系統，而後者才能真正意義上稱之為“公理化方法”（Axiomatic Method）。希爾伯特還區分了數學研究的兩種任務，即“前進任務”和“回退任務”：前進任務是建立和發展相關的理論系統，并探索其邏輯上的結果；而回退任務則是為已有成果尋求更堅固的基礎，是對前提條件的考察，以盡量區分假設和邏輯推理。并且，希爾伯特認為，數學歸根結底是一種人造的科學，因此先驗地預設了人類的理性，而這一預設并不是數學性的，而是哲學性的。

自二十世紀開始，希爾伯特的研究重點放在了數學公理化基礎上，這一工作計劃圍繞對一緻性的證明展開，因為隻有公理系統的一緻性才能确保公理化對象的存在，一緻性使得邏輯是可靠且完備的，讓語義和句法之間可以相互轉換，因此為數學提供了某種本體論基礎。但之前的對幾何基礎的公理化工作得到的隻是一種間接的一緻性，即如果算術是一緻的，那麼公理化系統也是一緻的，而希爾伯特此處則是基于一種邏輯主義的想法，将算術簡化為邏輯，并進一步給出一種邏輯的公理化和一緻性證明（然而後來哥德爾證明這是不可能的）。希爾伯特緻力于數學基礎體系的研究以确保數學實踐，因此他的興趣在于檢驗那些基礎受到質疑的理論，而不是整個數學。并且，這一工作可以削弱一部分哲學問題對數學的困擾，例如抽象對象的存在方式或數學知識的性質等等。但這仍然在本質上是一個哲學問題，對此，希爾伯特尋求與其他哲學家（例如胡塞爾（Edmund Husserl）、納爾遜（Leonard Nelson）等）和其他具有哲學頭腦的數學家合作（例如伯内斯（Paul Bernays）、 阿克曼（Wilhelm Ackermann）、根岑（Gerhard Gentzen）等）。

佩克豪斯認為，希爾伯特的這一工作意在解決一系列悖論對于數學基礎（特别是集合論）的威脅。策梅洛-羅素悖論（Zermelo-Russell Paradox）和格雷林悖論（Grelling’s Paradox）分别以不同但類似的方式指出了集合論在涉及自我包含或自我指涉時會産生的問題。而策梅洛随後的工作宣告了這類悖論對集合論來說似乎是無法解決的，因此也不能給出一個合理的一緻性證明。

因此，希爾伯特避開了這個問題并在1917年之後轉向了證明論的研究。希爾伯特在其公理化綱領中區分了形式數學（即數學本身）與内容數學（即證明論），其中證明論的主要問題是如何借助有窮的證明處理無窮概念。在1922年，希爾伯特正式提出了證明論，并在随後使得元數學逐漸發展成為具體的數學分支學科。對此，根岑認為希爾伯特的工作在于努力避免數學問題陷入哲學問題，盡量得到一個純數學的解答，這聚焦于數學實踐，但使得數學基礎中的哲學問題沒有得到任何解決。

但佩克豪斯同時也指出，希爾伯特綱領對哲學問題的回避容易遭緻哲學家的批評，其中一些典型的批評來自新康德主義哲學家納爾遜（Leonard Nelson ）。納爾遜遵循了弗裡斯（Jakob Friedrich Fries）的人類學理性批判的傳統，認為希爾伯特的工作中缺乏對數學起源問題的批判性立場，從而導緻在脫離純數學領域之後就變得空洞無物。納爾遜将數學知識的來源視為是關于數學的批判理論的一部分，并且不承認希爾伯特所設想的：如果完成了一緻性證明，那麼就完成了對數學的本體論說明。納爾遜嘗試以溯因的方式對數學進行回退分析，将數學知識建立在直接知識（即純粹直觀和純粹理性）之上，構造一種批判性的數學哲學，因此這是一種心理學或哲學人類學的任務。

維也納學派則以另一種科學性的世界觀的視角審視數學基礎問題。維也納學派試圖尋找和建構一種中立的，不受曆史語言糟粕所影響的符号和公式系統，為日常實踐（而非僅僅是學術）創造一套推理工具。借助邏輯分析，他們将傳統哲學問題進行轉化或消解，将各種概念簡化為指稱本身。其中典型的是卡爾納普（Rudolf Carnap）1929年的《邏輯概要（Abriss der Logistik）》一書，在書中卡爾納普詳細說明了數理邏輯的方法以及在大量數學和哲學領域的應用。

最後，佩克豪斯将數理邏輯和數學基礎的誕生史歸結為二十世紀上半葉對數學基礎危機的回應，并使十九世紀中葉以來的數學和邏輯學的研究得到了學科化和制度化。佩克豪斯借助肖爾茨（Heinrich Scholz）的觀點對此進一步說明。肖爾茨認為，基于一種柏拉圖式的對哲學和數學的理解，數學研究對哲學研究是不可或缺的，并且對數理邏輯和數學基礎問題的研究作為一種“新基礎研究”，作為一種從數學中産生的哲學，達到甚至于超越了數學的精确性。這種研究的基礎性具有兩重含義，第一重是這種研究在所有可能世界的普遍有效性，即作為一種形而上學的基礎性；第二重是公理系統的比較研究中得出的基礎性。

佩克豪斯總結道：以希爾伯特早期公理化綱領為代表的早期形式主義，與其同時代的競争對手邏輯主義和直覺主義相比，并不是一個基礎性的綱領，而僅僅是一個避免矛盾的實用主義綱領，以确保數學家的日常工作。但随着證明理論成為數學的一個分支學科，情況發生了變化，盡管這沒有讓數學徹底從哲學中脫離，但這仍然構成一種新的數學基礎問題的感知方式，并塑造了一種新的哲學風格。

程勇教授評議

在評議環節，程勇教授首先感謝了佩克豪斯的精彩演講，并簡要回顧了十九世紀和二十世紀數學哲學的發展曆史。随後，程勇指出了講座中一個可能存在的誤解，即希爾伯特的公理化計劃不僅如講座中提到的那樣，是對二十世紀初的數學危機回應，還是在數學從符号計算科學向概念推理和對數學對象進行抽象表征的科學的巨大轉變過程的具體體現。最後，程勇還希望佩克豪斯能夠對希爾伯特綱領的意義做出進一步的評價。

佩克豪斯對這一評論表示感謝，并同意程勇對希爾伯特的公理化計劃的解讀，但還是認為對數學的形式化、概念化和抽象化不是希爾伯特的形式主義的充分理由，因為這種形式化隻是一種對數學的呈現方式，而非數學的基礎。并且，直覺主義同樣試圖為數學提供一種形式化的構造，但并沒有發展出與邏輯主義類似的系統。因此，數學的轉變不足以解釋希爾伯特綱領的動機。至于希爾伯特綱領的意義，佩克豪斯認為這仍然是世界上最重要的數學項目之一，但由于自己并不是數學家，所以無法給出更具體的評價。

講座互動現場

（編輯：鄧莉萍  審稿：劉慧）