本網訊（通訊員楊新宇、時尚）5月30日和6月6日，紐約市立大學教授、算術模型論領域專家Roman Kossak通過線上平台作了兩場“關于算術模型論”的講座。講座由我院科學技術哲學教研室程勇教授主持。每場講座的觀衆平均超過200餘人次。

第一場講座主題為“Milestones and Small Steps in Model Theory of Arithmetic”。Roman Kossak教授梳理了算術模型論這一領域的研究曆史，分為三個發展階段進行介紹。

第一個階段是上世紀50-70年代中期，Skolem對Peano算術非标準模型的超幂構造和Ryll-Nardzewski關于Peano算術不能有窮公理化的證明是這一領域的奠基性結果，而Mostowski則在1955年提出了算術模型論研究的綱領性的幾個問題。随後Tennenbaum、Scott和Friedman等人從可計算性的角度研究了Peano算術的非标準模型，特别是引入了Scott集的重要概念。Ehrenfeucht和Robinson則從可定義性的角度入手，引入了非标準語言的概念，進而得到了Tarski真不可定義定理的模型論證明。另一個重要的問題是模型的擴張，Kossak教授介紹了尾節擴張（end extension），共尾擴張(cofinal extension)和極小擴張(minimal extension)等概念和MacDowell-Specker定理、Gaifman分裂定理等重要結果。

第二階段是對同構不變量(isomorphism invariants)的研究，Kossak教授重點介紹了兩個著名的未解問題: Harvey Friedman第14問題和Scott集問題。對Peano算術的一個完備擴張T，T的模型的序歸約構成了一個類Ord(T)，那麼Ord(T)是否依賴于T呢？這是Harvey Friedman第14問題。而Scott集問題的内容則是，每一個Scott集是否是某個Peano算術的非标準模型的标準系統（standard system）？我們已知這一問題在連續統假設下答案是肯定的，但若不考慮連續統假設，這一問題的答案仍是未知的。

第三階段是對遞歸飽和模型的研究，由于時間關系Kossak教授沒有對這一部分作過多介紹，而第二場講座正是關于這一主題的。

在評論環節，我院時尚同學就不完全性定理的模型論證明進路向Kossak教授提問，Kossak教授簡要梳理了Indicator方法的發明及其在證明獨立性語句方面的強大作用；程勇教授則提出了三個問題：力迫法和算術模型論的聯系；在具體不完全性研究中證明論和模型論方法的比較；當前算術模型論研究的前沿問題。對于第一個問題，Kossak教授回顧了Simpson在1974年發表的“Forcing and Models of Arithmetic” 一文；對于第二個問題，Kossak教授指出二者相互補充，證明論方法在某些方面更加有效，但模型論方法可以描繪一個宏觀的圖景；對于第三個問題，Kossak教授介紹了模型的子結構格這一領域的一些進展和尚未解決的難題。

第二場講座主題為“Undefinability and Absolute Undefinability in Arithmetic”。Kossak教授深入地介紹了“可定義集(definable sets)”和“絕對不可定義集(absolutely undefinable sets)”。一個集合是可定義的，即可以找到一個公式（稱為定義公式），使得一個元素屬于該集合當且僅當滿足定義公式。然後Kossak教授介紹了在一些常見的算術結構中，哪些集合是可定義的，哪些集合是被證明不可定義的。比如序關系在(N,S)，即含有後繼關系的自然數結構中是不可定義的、加法在(N,*,S)中是可定義的、真理集在(N,+*)中是不可定義的，但如果限制到固定的公式層級上是可定義的。但是值得注意的是，如果我們把邏輯系統拓展到表達力更強的無窮邏輯          ，則可以在公式中使用無窮次析取或合取，那麼許多在一階邏輯下不可定義的集合就會變成可定義的。

之後Kossak教授介紹了“榮美集(resplendence)”的概念。Barwise等人證明了一個可數集合是遞歸飽和的當且僅當它是榮美的。Kossak教授還給出了榮美集更多的性質，以及在分體論的應用。Kueker證明了在一個可數結構中，一個集合R是            可定義的當且僅當R有至多自然數基數個自同構像，當且僅當少于連續統個自同構像。這裡Kossak教授自然地引入了絕對不可定義的定義：一個集合是可定義的當且僅當它有連續統個自同構像。由Kueker-Reyes定理，我們可以推出，任意不是絕對不可以定義的集合           中都是參數可定義的。之後Kossak教授介紹了在一些具體的常見模型中的絕對不可定義和遞歸飽和。

在評論環節，程勇教授提問絕對不可定義的概念提出初衷是什麼。Kossak教授回答自同構像一直是模型論中研究的一個重要問題，絕對不可定義概念的提出是為了解決在一個模型中添加新關系時應該具有哪些性質。之後他們一起讨論 了Kueler定理的細節。

Kossak教授的兩場講座高屋建瓴，深入淺出，既從宏觀上給出了算術模型論這一數理邏輯重要分支的整體圖景，又就不可定義性和絕對不可定義性等深刻概念作了細緻的探讨。對于剛入門這一領域的年輕學生而言，不失為提供了一張立體直觀的鳥瞰圖；對于從事相關領域研究的成熟學者而言，也有助于其更深入地把握算術的非标準模型這一豐富深邃的研究對象。

（編輯：鄧莉萍 審稿：劉慧）