本網訊（通訊員時尚、楊新宇）7月4日—5日、8日—9日，Colin McLarty教授在振華樓B214分别作了四場“數學家的哲學思想選講”的系列講座。McLarty教授是美國凱斯西儲大學的Truman P.Handy哲學教授，是範疇論領域的領軍人物，也是一位著名的數學哲學家和數學史學家。講座采用線上線下混合形式， 通過網絡平台向海内外觀衆直播。講座先後由我院程勇教授、謝凱博副研究員、陳波教授主持，我院及數學與統計學院師生參加了線下講座，每場講座線上平均200餘人次參與。

第一講的主題是“三種做數學的方式何以演變為競争的哲學”。McLarty教授首先闡述了本系列講座的主旨：20世紀初的觀點認為數學家是隻在邏輯和數學基礎幫助他們證明定理的時候才會關注這些基礎問題。但我們本系列講座的基本論斷是：許多數學巨匠在提出及證明一些定理的基礎上，也對數學哲學帶來了深遠的影響。

McLarty教授指出，數學哲學的分類實際上來源于對數學家研究風格的分類。1893年，著名數學家克萊因依據研究風格将當時的數學家分為了三類：邏輯主義者、形式主義者和直覺主義者。在當時的語境下，邏輯主義指給出嚴格的定義和推理；形式主義指對于給定的問題設計出一種“算法”；直覺主義強調在所有數學分支中都應該注重幾何直觀。這三種風格并無優劣之分也并非水火不容。有的數學家可以分屬不同陣營，不同陣營的數學家也相互合作各取所長。之後McLarty教授舉出了許多數學家的例子進一步闡釋這三種研究風格的概念。比如以嚴格定義和嚴格演繹著稱的魏爾施特拉斯是最偉大的邏輯主義者之一，是他發明了微積分中最為基礎的ε-δ 語言。

接着，McLarty教授介紹了它們如何随着時間變化，以及最後演變為一種哲學。但值得注意的是，在19世紀，數學家們并沒有嚴格的書寫标準，以至于他們的證明過程可讀性非常差。比如保羅·戈登關于代數不變量的定理證明雖然有着嚴密的公式但是缺乏文字解釋，于是出版時被加入了許多錯誤的解讀，以至于直至今日人們也難以閱讀他的證明。20世紀初，在大衛·希爾伯特、戴德金等數學家的推動下，數學證明的形式發生了變革性的轉變，他提倡演繹推理，挑戰了先前的寫作風格。學界開始普遍認同将證明清晰化、嚴格化。至此，因為人人都是克萊因語境下的“邏輯主義者”，所以這一概念開始淡化。随着計算機科學的發展，“算法”的概念發生變化，形式主義的概念也因此産生變化。同時，荷蘭天才數學家布勞威爾創立了構造性數學。他強調數學直接的直覺，認為存在即可構造、證明即可計算。他符合克萊因語境下的“形式主義者”，但他本人堅稱自己是一位“形式主義者”。教授也強調了李(Lie)等人将複雜概念幾何化的重要貢獻。

此外，McLarty教授還探讨了數學和數學哲學之間的互動。之後話題轉向諾特等人對代數幾何和守恒定律的影響。艾米·諾特是一位德國女性數學家，盡管身處動蕩時代，仍對數學做出了開創性的貢獻。她簡化了複雜的數學證明，善于利用透徹的洞見建立優雅的抽象概念，再将之漂亮地形式化。她整合了不同的方法來推進抽象代數的發展，其工作在現代數學教育和研究中仍具有影響力。

在提問互動環節，程勇教授感謝了McLarty教授的精彩演講，表示此次教授準備的内容十分豐富。我院時尚同學提問除了克萊因的分類是否還有其他分類以及是否會有這三類之外的風格。McLarty教授回答龐加萊在同一時代也提出了一種分類，他區分了分析主義者和直覺主義者。這裡分析主義是指非常注重細節和推理的每一步都必須是嚴格正确的。但在克萊因之前沒有人劃分了三個種類。并且McLarty教授相信數學哲學是一直發展的，比如目前新興的機器證明領域也會對數學哲學産生新的影響。有線上觀衆提問諾特是如何理解時間對稱性的。教授解釋到希爾伯特和愛因斯坦最初已經意識到廣義相對論的問題在于可以使用不同的方式改變坐标系，粗略來講坐标系是無關緊要的，這也是物理學中的協變性。這使得找到一個一般的守恒定律非常困難。而諾特提出了諾特定理，建立了對稱性與守恒定律之間的聯系。

第二講主題為“龐加萊、希爾伯特和哥德爾的連續挑戰”。McLarty教授首先從希爾伯特和龐加萊的互動這一新奇的角度來介紹希爾伯特綱領。與把希爾伯特和龐加萊視為對手的刻闆印象不同，龐加萊高度贊揚了希爾伯特對歐式幾何的公理化的徹底性和精确性以及平行公設的相對一緻性證明。希爾伯特的工作使龐加萊意識到用機器實現數學推理的潛在可行性。這一思想并非空穴來風，早在19世紀人們就考慮設計推理機器，其曆史可追溯到1840年巴貝奇(Babbage)設計的計算器和1870年傑文斯(Jevons)設計的邏輯鋼琴。龐加萊的這一觀點為希爾伯特所贊同，并且希爾伯特注意到一個數學理論的一緻性實際上隻關乎有窮符号串的性質，似乎并不需要知道關于無窮的事實。因此他提出了希爾伯特綱領：通過有窮方法證明數學基礎的一緻性。

講座的第二部分是對不完全性現象的介紹。哥德爾不完全性定理表明希爾伯特的上述想法是不正确的，足夠強的理論（如皮亞諾算術PA的一緻遞歸擴充）不能證明其自身的一緻性。McLarty教授同時指出在某些特定情況下不完全性現象可以避免，塔斯基證明了初等代數和初等幾何是完備的。另一方面，哥德爾不完全性定理依賴特定的邏輯構造，但也存在具體的、有數學意義的不可判定的命題，如選擇公理和連續統假設相對于集合論公理系統ZF。具體不完全性也從一個側面表明了将數學還原為邏輯的嘗試的失敗。那麼如何應對不完全性現象呢？有兩種選擇：放棄數學基礎；繼續探索使數學定理賴以成立的數學基礎。後者和Friedman等人提出的反推數學的宗旨密切相關。McLarty教授進一步探讨了廣泛存在的兩類不完全性現象：邏輯不完全性和具體不完全性。盡管二者有很多不同，但在形式上都可以看作關于滿足某一性質的函數存在性的斷言。

為了說明“具體性”的含義，McLarty教授介紹了初等函數算術EFA，并通過一個關于素數的命題指出EFA在希爾伯特意義上是具體的（其可證遞歸函數增長速度不是很快），而皮亞諾算術PA則不是具體的。而一個自然的問題是，如費馬大定理這樣艱深的數論結果在多弱的算術系統下可證。這一問題有其曆史淵源。著名數學家哈代曾認為素數定理沒有初等證明并且是皮亞諾算術所不可證的，但其觀點是錯誤的。另一方面，數學家注意到懷爾斯對于費馬大定理的證明有很強的算術特征。McLarty教授對懷爾斯的證明思路作了簡要的介紹，即将費馬大定理轉化為下述命題：假如費馬大定理不成立，則由費馬方程可構造一個橢圓曲線，它不可能是模曲線。數學家們已經知道，費馬大定理在集合論ZFC中可證，更好的結果是費馬大定理可在有窮階算術(finite order arithmetic)（即添加無窮公理的簡單類型論）中可證，McLarty教授則認為有廣泛的證據可以表明費馬大定理在皮亞諾算術中可證。為了說明這一點，McLarty教授深入讨論了懷爾斯證明中的上同調、格羅滕迪克宇宙等概念的形式化和解析數論中的函數（如黎曼ζ函數）的初等性。

在提問互動環節，謝凱博老師感謝并總結了McLarty教授的精彩講座。我院陳一源同學提問哥德爾第二不完全性定理是否會導緻無窮倒退。McLarty教授介紹了圖靈-費弗曼（Turing-Feferman）定理，即真算術可以基于皮亞諾算術PA通過遞歸序數的疊代擴張得到。我院楊新宇同學提出了兩個問題，第一個問題是在希爾伯特意義下，為什麼哥德爾語句不是一個具體的數學命題；第二個問題是：如果在希爾伯特意義上初等函數算術EFA是具體的，皮亞諾算術PA不是具體的，那麼強于EFA而弱于PA的原始遞歸算術PRA是否是具體的呢？McLarty教授回應道，關于第一個問題，相對于PA而言的哥德爾語句沒有斷言具體的控制上界；關于第二個問題，教授指出關于這一點有一定的争議，他本人認為PRA也不是具體的，原因是原始遞歸函數的增長速度也過快了。我院程勇教授則指出，在哥德爾定理不完全性定理發現之後，希爾伯特本人并不認為希爾伯特綱領就完全失敗了，而是隻需要修改有窮主義的标準，程勇教授詢問McLarty教授如何看待有窮主義的定義。 McLarty教授指出關于有窮主義有不同的标準，希爾伯特本人的觀點事實上也發生過變化。但費弗曼和泰特(Tait)等人認為有窮主義可以和原始遞歸算術等同起來。

第三講主題為“幾何化算術和數學的統一性”。首先，McLarty教授指出20世紀幾何、分析和數論領域産生的新方法并不是割裂的，它們有着共同的起源——韋伊1928年的博士論文。韋伊将丢番圖方程的整數解與橢圓曲線上的有理點聯系起來，這一思想可追溯到希爾伯特和龐加萊。McLarty教授指出，這反映了韋伊對于數學的不同分支的統一性和聯系性的追求，McLarty教授用韋伊19歲時登阿爾卑斯山的感受生動形象地說明了這一點。

講座的第二部分是上同調這一深刻的數學思想的介紹。韋伊引入了上同調這一代數拓撲的概念來研究韋伊猜想。從直觀上看，上同調是曲面上“洞”的計數，而“洞”實質上可以看作從方程的一個解求另一個解的阻礙（obstruction）。

McLarty教授進一步介紹了韋伊所建立的布爾巴基學派的曆史，總結了布爾巴基學派的思想遺産。McLarty教授指出，布爾巴基學派的多卷本《數學原理》既不是百科全書也不是研究專著，而是對數學各個領域全貌的展現，确立了數學術語的标準。其思想遺産表現在：提供了一種易于教學的定理證明的風格；提供了教科書的書寫範例；嘗試建立統一的數學結構的理論。

另一個對20世紀數學影響深遠的學派是諾特學派。代數學家諾特的數學貢獻和數學思想影響深遠，為拓撲學、交換代數和代數幾何以及上同調數論提供了基本工具，并促成她的學生艾倫伯格和麥克蘭恩建立了群上同調和範疇論。這些思想最終促成了韋伊猜想的解決。解決韋伊猜想的工具是格羅滕迪克引入的平展上同調（Étale cohomology），其本質是拓撲斯(topos)。

随後，McLarty教授對拓撲斯這一概念作了簡明扼要的介紹。從外在的角度看，拓撲斯類似拓撲空間，但其本質是可誘導上同調，因此拓撲斯可以是群、拓撲空間，也可以是格羅滕迪克引入的概形(scheme)。從内在的角度看，某個數學對象（如群）上的拓撲斯的數學性質反映了這個數學對象本身的性質。

最後，McLarty教授介紹了在拓撲斯思想影響下威廉·勞威爾（William Lawvere）的工作。勞威爾認為數學對象可以通過其關鍵特征來描述，如自然數的關鍵特征是可以用來定義序列，而集合的關鍵特征和集合之間的函數密切相關。在這一思想的驅動下，勞威爾提出了集合的範疇（category of sets）的公理化ETCS 和範疇的範疇(category of categories)的公理化CCAF。在勞威爾工作的啟發下，邁爾斯·蒂爾尼（Myles Tierney）提出了拓撲斯的公理化。

在提問互動環節，程勇教授對McLarty教授的講座進行了總結。我院時尚同學就數學分支的共性和個性提出了兩個問題。第一個問題為是否每一個數學分支都會交彙，第二個問題則是不同數學分支各自所具有的關鍵特征。McLarty教授指出，盡管我們原則上并不能斷言每一個數學分支都彼此關聯，但數學實踐表明許多數學分支是彼此深刻聯系的。關于不同數學分支的關鍵特征，McLarty教授以幾何和分析為例作了诠釋，幾何學關心的函數是光滑的，而分析學關心的函數則更為廣泛。程勇教授則就懷爾斯對費馬大定理的證明提出了三個問題：懷爾斯的證明是否有數學基礎方面的意義；懷爾斯的證明使用了不可達基數，但這一證明卻可以在ZFC甚至更弱的系統中形式化，是如何做到的；如何理解方法的純粹性這一追求的地位。關于第一個問題，McLarty教授回應道，懷爾斯的證明使用了許多範疇論的構造，懷爾斯本人隻是将其作為工具使用，但是其證明可以使我們看到範疇論方法是如何整合數學結構的，并且反映了範疇論的目的——使實質平凡的事情變得明顯平凡。關于第二個問題，McLarty教授指出，對于懷爾斯證明而言，不可達基數存在和極限基數存在的區别隻是替換公理的作用方式有所不同。關于第三個問題，McLarty教授認為數學的統一性比方法的純粹性更加重要。

第四講的主題是“長遠的觀點”。McLarty教授從數學在古希臘的起源談到當代的觀點，強調了思想的多樣性和關于數學基礎的多方面的問題。教授首先解釋了數學哲學和數學家哲學的區别。僅僅談數學并不是很清晰明确，不同學者容易産生理解上的分歧；但是談論特定的數學家可以使聽衆更準确地理解所要表達的内容。柏拉圖時代的數學不是公理形式化的也不是經驗的簡單推廣，其是基于“假設”(hypotheses)的。對當時的數學家而言，數學是要去證明一個條件式，即如果A，那麼B。但是并不知道前提A是否正确。比如他們假設自然數分為奇數或偶數、角分為銳角、直角、鈍角三種。他們認為這是“絕對假設”，是不需要解釋和證明的。

随後，McLarty教授介紹了柏拉圖時代數學家對幾何學的開創性貢獻。教授舉例了希波克拉底月牙定理。它是我們可以找到的最早的古希臘的數學證明。它并沒有用到公理化的方法，但它蘊含了複雜的幾何思想，我們無法輕易斷言它是一種直覺主義。之後McLarty教授進一步探讨了這些證明的哲學，讨論了直覺、潛無窮以及結構主義及其對古代數學實踐的解釋。比如亞裡士多德認為甚至潛無窮也是不存在的。雖然可以對一根直線反複進行分割，但他認為直線一定是有上界的。到歐幾裡得提出平行公設時，人們開始接受直線是無限長的。反實在結構主義者（認為普遍性在邏輯上先于特殊性）會認為數學家是不區分結構和系統的。這裡結構是指抽象的事物，比如“三個東西”，但系統是更為具體的概念，比如“三個正方體”。McLarty教授随後讨論了數理邏輯中的“解釋“概念，其中一個重要結果是哥德爾第二不完全性定理的加強版本：不存在一緻的理論U可以解釋Q(羅賓遜算術)+Con(U)。不同邏輯學家也給出了關于“一緻性”不同的定義。邏輯中的“解釋”概念在如今機器學習和自然語言處理等領域中也有重要理論意義。不同的數學基礎，比如範疇論和集合論，它們雖然是相互可解釋的，但并不意味着我們完全可以使用它們做同樣的事。

為了說明這一點，McLarty教授以數學中函數概念的演變為例來闡釋，追溯了函數從基本的集合論定義到在泛函分析中的推廣。他強調了函數概念在不同數學學科中的适應性，以及集合論、類型論在為不同數學結構提供基礎框架方面的工具作用。斯坦因(Stein)和沙卡奇(Shakarch)最早在普林斯頓的講義中整理回顧了函數的集合論定義，但他們認為在實際應用中，我們仍理解函數就是一個自變量映到一個函數值，所以認為兩個函數相同就是函數值幾乎處處相等。随着分析學和物理學的不斷發展，出現了許多“反常理”的函數，比如δ函數。華裔數學家陶哲軒進一步拓寬了函數的概念。McLarty教授還介紹了抽象數學理論和經驗物理現象之間令人驚訝的巧合，如量子理論和相對論的數學基礎。最後，McLarty教授從數學哲學角度展望了計算機輔助證明的前景。

在提問互動環節，陳波教授對McLarty教授的講座内容進行了簡要的總結。程勇教授提問從柏拉圖到陶哲軒的函數概念之間的内在關聯是什麼，以及現如今除了集合論是否還有其他解釋函數的方式。McLarty教授回應從柏拉圖到當代數學都有一個共同點，即大量數學上的問題推動了大量數學方法的産生。并沒有一個函數概念可以包含已知的所有函數，之後教授舉了一些幾何和算術中的例子，這些函數并不來源于集合論，而是關于空間直覺。程勇教授評論從這段數學史中我們可以發現數學實踐總是先于數學哲學的。

數院本科生楊正奇同學提問連續統假設，即是否存在一個勢在自然數和實數之間的實數子集，這個問題獨立于ZFC，但是根據對于實數軸的直覺，這個問題應該有一個明确的回答，所以把實數軸想象成一條直線的直覺有什麼瑕疵？教授從可定義性角度回答了該問題：直覺中的實數的能夠被我們想象出來的子集都是可定義的，而ZFC的公理很多都是有可定義性的限制，所以如果存在一個這樣的子集，它就是不可定義的，自然就超出我們的想象。

我院楊新宇同學提問，傳統的函數相等概念是外延的，而類型論通過強正規化定理提供了一種内涵性的相等概念，那麼幾乎處處相等是否有等價的内涵性的刻畫。教授認為這是一個技術性的問題，他覺得這是可行的并提供了一個具體的思路。

陳波教授提問弗雷格的函數概念，即從對象到真值的映射，是否是現代邏輯的基礎。教授認為這有點偏向數學問題，弗雷格更關心概念和語言。但他對函數的抽象化也是有着深刻哲學洞見的，對現代邏輯有着重要影響。

本系列講座内容豐富，McLarty教授對數學家的哲學思想的研究在數學哲學領域極富創新性和深刻性。每場講座結束後，均有觀衆與教授進一步交流數學基礎、數學哲學及數學史的相關問題。線上和線下觀衆均表示收獲頗豐。

（編輯：鄧莉萍  審稿：劉慧）