本網訊（通訊員時尚）3月12日晚，康斯坦茨大學Leon Horsten教授作了題為“集合論反射原則（On set theoretic reflection principles）”的學術報告。Horsten教授是國際理論哲學領軍者，深耕邏輯、認識論與形而上學。他通過形式結構重構哲學命題，以數理邏輯、概率論為工具，解決了數學哲學、語言哲學等領域難題。本次講座為線上講座，海内外參與者300餘人次。

反射的概念(reflection)可以追溯至古代。反射概念對應于認識論中的内省概念，及本體論中的鏡像概念。在文藝複興時期的赫爾墨斯主義傳統中，本體論的“微觀世界反映宏觀世界” 的觀點盛行，但因缺乏理論成果而逐漸被遺忘。20 世紀 50 年代末，反射原理在數學和邏輯領域重新興起，形成了證明論反射原則和集合論反射原則這兩種類型。集合論反射原則由蒙太古提出，比如在普遍被采用為經典數學的理論基礎的ZFC公理集合論系統中，反射原則有着廣泛應用。我們知道由哥德爾不完備性定理或者力迫法，ZFC是不完備的。通過添加不同強度的反射原則可以減弱其不完備性。傳統觀點認為，集合論反射原則已經得到了充分的理解，具有一定但有限的集合論強度，并且其合理性得到了廣泛認可。但Horsten教授通過最新研究提出質疑，認為我們對集合論反射原則的了解實際上非常有限，在定義、類型、強度和合理性等方面仍存在諸多問題。

在介紹公理集合論的基本框架（如 ZFC 系統、疊代層級結構）後，Horsten 教授闡釋了集合論反射原則的核心思想：集合論的全體宇宙           與其某個 “小部分”（如秩初始段           ）在語義上是不可區分的。具體來說，如果一個關于           的陳述為真，那麼在某個比全體序數類           更靠前的           中該陳述也為真。Horsten教授給了兩個形式化的例子：Montague - Levy反射是一個一階模式，其表達式為          ，意味着一階語句的真理性會在某個秩初始段中得到反映；Bernays 反射作為二階模式，表達式為         ，即二階語句的真理性會在某個秩初始段及其下一階段中得到反映。但這些還遠遠不夠，六十年代末期，大基數公理（也可稱為強無窮原則）成為集合論研究熱門。大基數公理是指那些在 ZFC 中無法證明其存在的集合的存在性假設，它們能夠在一定程度上減少集合論的不完備性。大基數公理按照強度從弱到強可以排列成一個層級，包括弱緊緻基數、可測基數、超緊緻基數、可擴張基數等。目前大基數公理通常在類理論中以類嵌入原則的形式來表述。例如，可測基數可以表述為存在一個非平凡的1-初等嵌入         ，其中         是一個内模型，即一個包含所有序數并且滿足ZFC的類。這裡1-初等嵌入是指對ZFC語言下的所有一階公式         ，         滿足         當且僅當         滿足           ，也就是說，我們可以将         視為         的一個近似。類似地引入二階語言可以定義2-初等嵌入。雖然我們可以給出非常強的大基數定理但集合論中仍存在諸如連續統假設這樣的問題不能由大基數定理解決。我們需要注意這些大基數公理并非是嚴格的标準反射原則，因為内模型嵌入原則中的反射對象（内模型         ）雖然是         的一部分，但它是一個類大小的結構（包含所有序數），因此不符合 “小” 的标準。我們雖然知道大基數公理可以減弱系統的不完備性，但問題是如何衡量減弱的程度。如果我們将集合論反射原則視為在某種程度上具有特殊的認識論地位。問題就轉化為那些自然的、可行的反射原則可以在大基數層級中達到怎樣的高度。比如目前已知Bernays 反射原則比弱不可達基數公理要強。哥德爾對此非常樂觀，他猜想所有強無窮原則歸根結底都是從集合論反射原則中得出的。但也有人反對他的觀點。哲學家Peter Koellner非常詳細地論證了沒有集合論反射原則可以确保可測基數的存在性。他首先聲稱每個集合論反射原則都與可構造公理         相容，而         與可測基數公理并不相容。

盡管 Koellner 的觀點具有影響力，但 Welch 和 Roberts 等人的最新研究表明反射原理的強度可能遠超傳統認知。Welch在大約十年前提出了一個新的反射原則          它能夠推導出1-可擴張基數的存在，并且在Horsten教授看來這個原則是符合我們最初對反射原則的定義的，因為這裡嵌入的定義域是一個集合大小，與所有類相比這是幾乎無限小的，這表明反射原理可以達到更高的大基數層級。此外還有P反射可以推出超緊湊基數的存在性。但關于可擴張基數仍然是一個未解問題。之後Horsten教授分享了其同事Sam Roberts 的一種基于 “角色” 的解釋模型，将反射結構視為一個 “劇場”，其中的元素通過嵌入函數         來扮演不同的角色，包括 “平凡角色”（即自身）、“内在角色”（反射結構内的其他元素）和 “超越角色”（反射結構外的元素）。最後談到合理性的問題。Penelope Maddy 等學者認為，反射原理基于集合論宇宙的 “不可定義性”，即宇宙的豐富性使得其所有性質都必須在某個小部分中得到反映，這分别對應了反射的必然性和普遍性，因此反射原理具有内在的合理性。但Horsten教授認為所謂的 “豐富性” 假設缺乏直接的依據，實際上我們可能更多地依賴于其在數學中的成功應用，即外在合理性。

本次講座深入探讨了集合論反射原理的概念、曆史、與大基數的關系以及其哲學合理性，對傳統觀點提出了多方面的挑戰，并展示了最新的研究成果。未來的研究需要進一步解決反射原理的強度上限、哲學基礎以及與其他數學領域的聯系等問題。

在互動環節中，程勇教授提出了一個問題，即我們應該如何理解集合論中的反射原則，并詢問在哥德爾的觀點中，這是否等同于嵌入性質。随後，Horsten教授從曆史的角度出發，分析指出哥德爾本人可能并沒有考慮過反射原則的嵌入公式，他認為哥德爾當時的這一猜測是一個大膽的想法。接着，Horsten教授進一步解釋了Koellner對于反射原則所持有的不同概念理解。線上參加的其他觀衆與Horsten教授就哥德爾觀點的文本來源問題展開了讨論。最後，在程勇教授對Horsten教授帶來的精彩講座表示感謝，本次講座圓滿結束。

（編輯：鄧莉萍 審稿：劉慧）