本網訊（通訊員 索鑫钊）2020年9月至2021年1月，beat365体育官网主辦了“2020秋季學期邏輯與數學基礎”系列線上講座。本學期共舉行13場報告，分别由8位海外教授、2位國内教授、3位青年學者主講，9位海内外老師擔任評論人或與談人。講座由beat365体育官网程勇教授組織，其中第八場講座由beat365体育官网申國桢副研究員主持，其餘講座由beat365体育官网程勇教授主持。

講座内容涵蓋證明論、集合論、反推數學、數學哲學。英文報告在Zoom平台舉行，中文報告在騰訊會議舉行，每場報告共2小時，其中主講90分鐘，問答交流30分鐘。來自海内外的老師和學生參加了線上報告。

2020年9月29日晚7點，舉行了第一場講座。由荷蘭烏得勒支大學哲學系教授、荷蘭皇家藝術與科學學院Albert Visser院士主講“可證性邏輯與模态不動點”。本講座的重點是經典可證性邏輯的不動點計算。本報告的處理方法同一般的方法略有不同。報告從邏輯系統‘K4+不動點’出發，證明這種邏輯系統可以消去“不動點”。為證明此點，Visser教授使用了一種多維形式的不動點定理。消除了不動點算子後所得到的系統就是勒布邏輯GL。之後報告還讨論了GL的算術解釋。

2020年10月13日下午4點，舉行了第二場講座。由英國利茲大學數學系Michael Rathjen教授主講“證明論：從算術到集合論”，德國達姆施塔特工業大學數學系Sam Sanders博士擔任評論人。講座的目的是介紹證明論的主要概念和成果，并解釋證明論中從算術到集合論的序數分析的基本原理。Michael Rathjen教授指出，貫穿數理邏輯所有主要研究領域的一個核心主題是為集合、函數或理論進行分類。一種分類方法是通過超窮層級的序數來衡量其相對于基礎理論的“等級”或“複雜性”。在證明論中，理論的“證明序數”刻畫理論的“一緻性強度”和“計算能力”。這一數理邏輯領域源于希爾伯特創立的“證明論”，其目的是通過證明數學理論的一緻性來确保數學的無矛盾性，從而一勞永逸地消除所有關于數學基礎的擔憂。現代證明論主要産生于20世紀30年代，起源于根岑算術一緻性的證明工作。

2020年10月27日晚7點，舉行了第三場講座。由比利時根特大學數學系Andreas Weiermann教授主講“切消定理與可證遞歸函數”，山東大學哲學與社會發展學院梁飛副研究員與談。Andreas Weiermann教授首先介紹了謂詞邏輯的根岑切消定理。然後介紹一個使得切消定理成立的無窮皮亞諾算術系統。并通過改進經典的切消定理的證明，借助序數遞歸函數我們得到了皮亞諾算術的可證遞歸函數的一個優美的刻畫。

2020年11月3日下午5點，舉行了第四場講座。由西班牙巴塞羅那大學哲學系Joost J. Joosten教授主講“疊代一緻性，反射原則及數學基礎”，荷蘭烏得勒支大學哲學系教授，荷蘭皇家藝術與科學學院Albert Visser院士擔任評論人。Joost J. Joosten教授指出，由哥德爾第二不完全性定理，我們知道任何解釋足夠算術理論的一緻公理理論都不能證明它自身的一緻性。圖靈意識到，如果我們從一個可靠的基本理論T開始，并确定一個自然的序數表示，這會産生一系列更強的理論：初始階段的理論即為基本理論T；後續階段的理論是前一階段的理論與該理論的一緻性命題的并；在極限階段，我們将前面所有階段的理論合并起來。這樣形成的理論的層級稱為圖靈擴展。在此報告中，我們将探讨如何使用圖靈層級來衡量理論的強度：從一些可靠的基本理論T開始，在T上執行圖靈擴展，使得擴展後的理論等于目标理論。我們将先介紹Schmerl的早期成果。 之後我們探讨Beklemishev的使用多模态可證性邏輯來實現圖靈擴展的工作。

2020年11月17日晚7點，舉行了第五場講座。由德國達姆施塔特工業大學數學系Sam Sanders博士主講“有些定理比其他定理更強：反推數學簡介”， 新加坡國立大學數學系楊躍教授擔任評論人。Sam Sanders博士講到，從高中數學到研究文獻，我們常見到“定理A強于定理B”和“這兩個公式是等價的”這樣的說法。基于數理邏輯，反推數學提供了一個框架，使得這類命題的涵義更精确。Sam Sanders博士在自己的研究基礎上對這一領域做一個簡單的介紹，并讨論一些新的研究方向。

2020年12月1日晚7點，舉行了第六場講座。俄羅斯科學院Steklov數學研究所Fedor Pakhomov博士主講“Kripke-Platek集合論”，澳大利亞科技大學數學系Zachiri McKenzie博士擔任評論人。Fedor Pakhomov博士指出Kripke-Platek集合論是一種相對較弱的集合理論，它與可計算性理論、證明論和模型論等領域有着多重緊密的聯系。本報告介紹這一理論并概述其與其他領域的一些聯系。

2020年12月8日下午4點，舉行了第七場講座。德國明斯特大學數學與計算機科學學院Ralf Schindler教授主講“有多少個實數?”，中科院數學與系統科學研究院馮琦研究員擔任評論人，中科院數學與系統科學研究院吳劉臻副研究員、beat365体育官网申國桢副研究員與談。Ralf Schindler教授指出，康托證明了實數集是不可數的。但是到底有多少實數？在過去的30年裡，有兩組公理被深入研究，這兩組公理都意味着有ℵ₂個實數：力迫公理和P_max公理。它們都以一種精确的方式表明了集合的宇宙是豐富的或“飽和的”這一觀點。并在去年和David Asperó證明了力迫公理和P_max公理實際上是兼容的；而這一事實可能支持的觀點是：決定有多少個實數的集合論公理已經被找到了。

2020年12月21日下午3點，舉行了第八場講座。中科院數學與系統科學研究院吳劉臻副研究員主講“選擇公理簡述”。講座中，吳劉臻副研究員指出，選擇公理是集合論公理系統中一條有着特殊地位的公理，并簡要介紹了選擇公理的基本性質以及研究的曆史沿革和目前的一些研究現狀。

2020年12月22日上午9點，舉行了第九場講座。由首都師範大學哲學系葉峰教授主講“一種物理主義的數學哲學”，beat365体育官网朱志方教授擔任評論人。葉峰教授先簡要介紹作為一種哲學世界觀的物理主義，然後介紹自己提出的一種以物理主義的認知主體觀為基礎的，嚴格有窮主義與反柏拉圖主義的數學哲學。葉峰教授認為，物理主義認為人類認知主體自身是物質性的、由進化産生的自然事物，由此出發可以推衍出對許多傳統哲學問題的回答。

2021年1月5日下午3點，舉行了第十場講座。新加坡國立大學講座教授、新加坡國家科學院莊志達院士主講“從反推數學探讨一個邏輯問題”， 新加坡國立大學數學系楊躍教授擔任評論人。莊志達院士講到，Hilbert在1900年提出一個方案，将确認應用無窮集合的合理性歸約到證明原始數論的一緻性。Gödel的不完全性定理（1931）告訴我們這個方案不可行。反推數學源于探讨實現部分的Hilbert方案。它所關心的“古典”核心問題是：證明某個數學定理需要哪一類關于無窮集合存在的公理？經過将近半個世紀的發展，反推數學已成為數理邏輯裡面的一個重要領域。近年來，其中一個主要研究方向是關于一個數學定理所蘊含的一階理論(first-order theory)。換句話說，任給某個數學定理，它能蘊含多強的一階理論？這個報告從這個觀點出發，讨論幾個組合數學定理，并通過模型的構造介紹集合論（特别是Gödel L宇宙的精細結構）在反推數學裡的應用。

第十一場講座和第十二場講座是2020年1月14日世界邏輯日公衆報告，分别由中國科學院數學與系統科學研究院馮琦研究員及維也納科技大學數學系Matthias Baaz教授主講。題目分别是“解析萊布尼茲之夢”和“哥德爾與塔斯基：邏輯人生”。兩場報告詳情見我院關于世界邏輯日公衆報告的報道。

我院“世界邏輯日公衆報告”順利舉行http:/info/1037/13494.htm

2021年1月21日下午4點，舉行了第十三場講座。由俄羅斯科學院Steklov數學研究所,俄羅斯科學院Lev D. Beklemishev院士主講“反射代數與圖靈擴展”。Lev D. Beklemishev院士指出，反射原則是這樣一類公理：在給定的理論中可證明的語句（具有給定的邏輯複雜性）都是真的。這類公理的一個簡單的例子是哥德爾的表示T的一緻性的公式。使用反射原則和它們的超窮疊代來根據強度對算術句子進行分類的想法源于圖靈（1939）。然而，圖靈也意識到這種方法存在嚴重的困難，特别是由于缺乏對如何區分“規範的”和“病态的”序數表示系統的理解，這是證明論中的一個衆所周知的難題。該講座的目的是介紹基于反射代數的證明論分析方法的主要組成部分。從抽象的代數的觀點來看，這些結構是由滿足某些特定恒等式的單調一元算子族構成的半格。這些算子在算術理論的格中可以解釋為将理論T映射到由理論T的反射原則形成的理論的函數。在這個框架内，我們可定義适當的序數表示系統及由反射原則疊代使用對應的超窮層級。因此，在某種程度上，圖靈的對算術句子進行分類的思想有可能得到推廣。

（編輯：鄧莉萍    審稿：嚴璨）