本網訊（通訊員甘甯）2021年4月17日上午南開大學數學科學學院副院長丁雲龍教授應邀在振華樓B214報告廳作了一場題為“等價關系與Borel歸約”的精彩邏輯報告。此次講座是邏輯與數學基礎系列講座之一，由beat365体育官网和數學與統計學院主辦。來自beat365体育官网、數學與統計學院的師生近30人參加了報告。講座由beat365体育官网科學技術哲學教研室程勇教授主持，報告人主講90分鐘，問答交流30分鐘。

講座中，丁老師向我們詳細介紹了以Borel歸約刻畫各種等價關系的相對複雜性的基礎理論以及該領域的一些最新成果。

首先，丁老師向我們詳細講解了三種典型的等價關系，以此佐證等價關系歸約的可行性。其一，兩個矩陣是否等價可以歸約為這兩個矩陣的秩是否相等，而兩個矩陣是否相似也可以歸約為它們的Jordan标準型是否相同；其二，每個有限生成阿貝爾群都同構于某一典範結構的直和，欲驗證兩阿貝爾群是否同構隻需比較其對應典範結構的直和的特征數字是否相同即可；其三，對一個緊緻拓撲空間可以定義一個定義在此空間上的複值函數構成的函數空間，且兩個緊緻Hausdorff空間同胚當且僅當它們所對應的上述函數空間同構。

緊接着，丁老師向我們展示了将一種等價關系歸約為另一種等價關系的一般形式。丁老師指出，相等關系是最為簡單、基本的一種等價關系，但在實際研究應用中，并不是所有的等價關系都能歸約到相等關系的；如果使用了選擇函數進行歸約，則能将所有的等價關系歸約成相等關系，但是這種歸約并沒有實際的應用意義與價值，反而會使基于歸約函數的等價關系的相對複雜性的結構崩塌，因此我們必須在歸約函數的選擇上加以一定的限制。

随後，丁老師從波蘭空間、Borel集等基本概念出發，向我們詳細介紹了Borel函數、Borel歸約的概念，并将之前提出的三種典型的等價關系全部納入了Borel歸約的體系之下。Borel歸約提供了一種刻畫比較不同等價關系的複雜性的方法：對任意等價關系E和F，E和F具有相同的Borel歸約複雜度當且僅當關系E可Borel歸約到關系F，且關系F可Borel歸約到關系E。之後，丁老師介紹了一系列關于等價關系間Borel歸約性的優美的二分定理。

在介紹完Borel歸約的基礎理論後，丁老師将前人以及自己近年關于等價關系Borel歸約複雜度的相關研究成果按時間順序一一展示、講解，最終将目前一些最重要的等價關系按各自的Borel歸約複雜度以圖例的方式展示出來。

最後，在問答環節，參加報告的師生就等價關系Borel歸約複雜度的結構、二分定理與連續統假設的關聯、等價關系間的歸約關系的推廣等方面的問題與丁老師進行了交流。 特别的，數學與統計學院杜乃林教授對丁老師帶來的此次講座贊不絕口，認為丁老師的研究方法在自己研究領域内有着方法論上的意義，并與丁老師就等價關系的Borel歸約對數學其他領域的一些問題的啟發性意義進行了探讨。丁老師指出，關于等價關系Borel歸約複雜度的結構我們可以提出很多問題，不過囿于研究工具當前主要是對分析的等價關系做了較為完全的研究，還有不少未解問題值得未來探索。

本次講座引人入勝、深入淺出，丁教授的講解細緻入微、分條細理、層層深入，等價關系Borel歸約的複雜而優美的結構給在座師生帶來了強烈的震撼，留下深刻的印象。

（編輯：鄧莉萍     審稿：嚴璨）