本網訊（通訊員 孫中陽 李慧敏）2021年8月16日至8月20日由beat365体育官网主辦的哥德爾不完全性定理國際研讨會在線上成功舉行。哥德爾1931年發表的不完全性定理對邏輯、哲學、數學、理論計算機科學等領域産生了廣泛深刻的影響，本次研讨會旨在紀念哥德爾不完全性定理發表90周年，促進關于不完全性定理最新研究進展的學術交流。

本次研讨會共10個單元24場報告，由來自13個國家的國際老中青三代專家學者作報告，其中包括美國文理科學院Saul Aaron Kripke院士，俄羅斯科學院Lev D. Beklemishev院士，美國文理科學院Wilfried Sieg院士，美國俄亥俄州立大學數學、哲學、計算機科學傑出教授Harvey Friedman，英國利茲大學數學系Michael Rathjen教授,美國聖母大學數學系Julia F. Knight教授等國際知名邏輯學家和哲學家。此次研讨會由beat365体育官网程勇教授、荷蘭皇家人文與科學學院Albert Visser院士、比利時根特大學數學系Andreas Weiermann教授、新加坡國立大學數學系楊躍教授組織。

8月16日下午3點，BEAT365唯一官网副校長唐其柱、beat365体育官网院長李佃來、奧地利國際哥德爾協會執行副主席Matthias Baaz教授和荷蘭皇家人文與科學學院Albert Visser院士參加研讨會開幕式并緻辭。

唐其柱副校長緻辭中指出，在哥德爾不完全性定理發表90周年之際舉辦國際專題研讨會具有重要的學術意義。唐副校長代表BEAT365唯一官网歡迎來自不同國家的參會者，并預祝本次研讨會成為一場思想交流碰撞的學術盛會。

李佃來院長在緻辭中指出不完全性定理在邏輯和哲學等領域産生了深遠重要的影響，很榮幸beat365体育官网主辦了此次研讨會，并預祝會議圓滿成功舉行。

Matthias Baaz教授概括總結了哥德爾的學術貢獻及不完全性定理的意義和影響，并代表國際哥德爾協會祝賀BEAT365唯一官网主辦此次研讨會并預祝會議圓滿成功。

Albert Visser院士全面深刻的分析了當今不完全性定理研究的主要方向及其問題，并期待此次研讨會對這些問題的精彩讨論。最後，開幕式在一部關于BEAT365唯一官网的英文視頻中結束。

研讨會報告内容涵蓋了關于不完全性研究的9個主題：不完全性的不同證明、不完全性與可證性邏輯、不完全性與自指、不完全性定理成立的限度、不完全性與可計算性理論、希爾伯特綱領與不完全性、不完全性與數學哲學、不完全性的内涵性、弱算術中的不完全性。報告在Zoom平台舉行，每場報告均為1小時15分鐘，其中主講1小時，問答交流15分鐘。來自海内外的老師和學生參加了線上研讨會。研讨會學術氛圍濃厚，問答交流環節氣氛活躍，讨論熱烈。

研讨會第一單元于8月16日下午3點半開始，包含2場報告，由荷蘭皇家人文與科學學院Albert Visser院士主持。

第一場報告由英國牛津大學哲學系Volker Halbach教授主講：自指與元數學的内涵性。報告首先讨論内涵性在哲學上的重要性，之後探讨了元數學中的内涵性是什麼，以及它與邏輯學中其他内涵性概念的關聯。接着，Halbach教授讨論内涵性産生的根源，并重點探讨了三種來源：算術化方法、特征的表達方式、及自指構造。最後，報告總結了當前研究的現狀及若幹未解問題。

第二場報告由波蘭華沙大學哲學系Stanislaw Krajewski教授主講：不完全性定理的若幹結論。報告讨論與不完全性定理相關的若幹哲學問題，特别的重點讨論如下兩個主題：基于不完全性定理的反機械主義論證，人類對自然數的理解能否編成計算機程序。作者詳細分析并論證了基于不完全性定理的反機械主義論證并不成立，僅由不完全性定理無法邏輯地推出人類心智不是機器的結論。最後，Krajewski教授基于不完全性定理論證我們不能定義人類對自然數的理解。

研讨會第二單元于8月16日晚8點開始，包含2場報告，由比利時根特大學數學系Andreas Weiermann教授主持。

第三場報告由英國利茲大學數學系Michael Rathjen教授主講：希爾伯特計劃與半直覺主義。報告指出雖然哥德爾不完全性定理常被認為否定了希爾伯特綱領，然而希爾伯特的加入理想元素證明具體數學命題的方法，在一些情形中有成功的應用。特别的，在(半)直覺主義邏輯框架中，經典的非直謂原則可加入到理論中而不改變理論的保守性。Rathjen教授在直覺主義邏輯框架下證明了一些構造性集合理論的證明論強度。

第四場報告由美國俄亥俄州立大學數學系Harvey Friedman教授（俄亥俄州立大學數學、哲學、計算機科學傑出教授、最年輕的教授吉尼斯世界紀錄的創造者、曾獲“美國40歲以下頂尖100位科學家”榮譽稱号）主講：不完全性定理的若幹方面。報告首先讨論了第一不完全性定理（G1）不同的一般形式。之後讨論了基于解釋概念的第二不完全性定理（G2）的各種形式。接着，Friedman教授給出一個基于奇異集概念的關于G2的新證明。最後，Friedman教授介紹了自己在大基數假設下的具體不完全性的最新研究成果。

研讨會第三單元于8月17日上午9點開始，包含2場報告，主持人荷蘭皇家人文與科學學院Albert Visser院士因時差不能參加，通過錄制視頻的方式介紹兩位報告人：Juliet Floyd教授和Saul Aaron Kripke院士。現場由美國紐約城市大學傑出教授Sergei N. Artemov主持。

第五場報告由美國波士頓大學哲學系Juliet Floyd教授主講：論早期維特根斯坦和哥德爾對“真”的理解。報告指出，哥德爾和早期維特根斯坦的工作在一定意義上都受到羅素關于“真”的理論的影響。 報告先介紹了羅素的真理論,之後探讨了哥德爾和維特根斯坦對羅素真理論的看法。Floyd教授分析了哥德爾和維特根斯坦之間對“真”概念的不同理解，并強調這種不同的理解在哲學上是可比較的。

第六場報告由美國紐約城市大學Saul Aaron Kripke教授（Schock Prize獲得者、美國文理科學院院士、歐洲文理科學院院士、美國紐約城市大學傑出哲學教授）主講：哥德爾定理的模型論方法。報告指出哥德爾不完全性定理的純粹證明論證明方法是不同尋常的。通常證明命題A在理論T中不可證的方法是構造一個理論T的模型使得命題A在其中為假。人們較早知道哥德爾-貝奈斯集合論不能證明其有一個良基模型。通常人們認為很難将這一結論推廣到算術理論，因算術的非标準模型不是良序的。Kripke教授指出這一困難是可以克服的，并給出不完全性定理的一個模型論版本。

研讨會第四單元于8月17日下午3點半舉行，包含3場報告，由新加坡國立大學數學系楊躍教授主持。

第七場報告由伊朗大不裡士大學數學系Saeed Salehi教授主講：不完全性定理的一些不同證明。報告比較了Gödel , Rosser, Kleene, Chaitin, Boolos關于第一不完全性定理的不同證明方法，并研究這些不同的證明是否具有構造性特征和Rosser特征，及其與第二不完全性定理間的關系。

第八場報告由俄羅斯科學院Lev D. Beklemishev院士主講：嚴格正定可證性邏輯:近期進展與未解問題。報告讨論命題模态邏輯的一個片段系統：嚴格正定可證性邏輯。報告指出，嚴格正定可證性邏輯以其有效性和充分的表達力，近年來引起了描述邏輯和可證性邏輯界的廣泛關注。從證明論角度我們可有對嚴格正定可證性邏輯十分自然的不同解釋。Beklemishev院士介紹了關于嚴格正定可證性邏輯的最新研究結果和這一領域中的未解問題。

第九場報告由美國聖母大學數學系Julia F. Knight教授 （聖母大學Charles L. Huisking數學教授）主講：PA的完備化與KP集合論的ω模型。報告對比研究如下兩種可計算的樹結構：其路徑表示一階皮亞諾算術的完備化的可計算二叉樹，其路徑表示KP集合論的ω模型的完備圖的可計算無窮分支樹。Knight教授重點讨論這兩種樹的性質及其路徑的可計算内容，并強調此研究與Gödel-Rosser第一不完全性定理證明方法間的關聯。

研讨會第五單元于8月18日下午3點半舉行，包含2場報告，由比利時根特大學數學系Andreas Weiermann教授主持。

第十場報告由比利時根特大學數學系Juan P. Aguilera博士主講：理論的Pi^1_2結論。報告給出了理論T的Pi^1_2範數的範疇定義，這個範數在序數範疇中是個特殊的保持良基性的函子。報告證明了對于ACA_0的Pi^1_2-可靠的遞歸可枚舉擴充而言，這個範數是良定義的，遞歸的，且可刻畫理論T的所有Pi^1_2結論。

第十一場報告由比利時根特大學數學系David Fernandez-Duque教授主講：當Ackermann遇見Goodstein。經典的古德斯坦過程是将自然數表示為2進制形式，然後疊代的增加基數再減一。 報告指出我們可通過用其他函數如阿克曼函數來表示自然數的方法來定義類似的過程。報告讨論了古德斯坦過程的阿克曼變體，并證明了自然數的表示方式與對應的過程的終止條件的證明論強度間的關聯。

研讨會第六單元于8月18日晚8點舉行，包含3場報告，由beat365体育官网程勇教授主持。

第十二場場報告由美國卡内基梅隆大學哲學系Wilfried Sieg教授（美國文理科學院院士）主講：AProS遇見哥德爾。報告的研究問題是：如何在自動證明系統中證明哥德爾不完全性定理。Sieg教授提出一種新的證明搜索系統AProS，并研究如何在AProS中給出不完全性定理的抽象證明。研究結果表明，使用系統AProS用戶可構造不完全性定理及其相關定理的結構清晰的形式證明。

第十三場報告由美國康奈爾大學beat365体育官网James Walsh博士主講：論自然理論的層級。報告指出一個經驗現象是不同的自然的公理化理論在一緻性強度下是可被良序的。然而，我們沒有一個對“自然”概念的精确數學定義，因此不清楚如何數學的研究這一經驗現象。Walsh博士基于最近的研究進展提出一些策略去理解為何這些自然的理論是可被良序的。這些策略強調與遞歸論間的類比，及反射原則與序數分析間的關聯。

第十四場報告由瑞典哥德堡大學哲學系Ali Enayat教授主講：論緊密理論。稱一階理論T是緊密的，若T的任意兩個在同一語言中不同的對演繹封閉的擴充都不是互可解釋的。Albert Visser于2006年證明了PA是緊密的。Enayat教授于2016年證明了Z₂(二階算術)、ZF和KM (Kelley-Morse類理論)是緊密的，并提出一猜想：PA、Z₂、ZF和KM的任意對演繹封閉的真子理論都不是緊密的。Enayat教授介紹了關于這一猜想的最新研究成果，為這一猜想的正确性提供部分證據。

研讨會第七單元于8月19日下午3點半舉行，包含2場報告，由新加坡國立大學楊躍教授主持。

第十五場報告由日本神戶大學系統信息研究所Taishi Kurahashi教授主講：量詞可證性邏輯間的包含關系。報告指出量詞可證性邏輯在很大程度上依賴于基底理論及其定義方式。報告研究了量詞可證性邏輯之間包含關系的若幹結論，發現這種包含關系在極少情形下成立。此外，根據理論的Σ₁算術解釋，報告給出量詞可證性邏輯之間包含關系的一個充要條件。

第十六場報告由德國洪堡大學計算機系Balthasar Grabmayr博士主講：向元數學結果的絕對版本邁進。報告指出在第二不完全性定理（G2）的數學表述和在哲學讨論中用到的非形式版本間存在間隙。為填補此間隙，我們需要研究G2成立的條件。報告研究G2是否成立與語法系統和編碼方法的選取間的關聯。 報告給出可容的語法系統及可容的編碼方法的定義，并證明在可容的語法系統及編碼方法下，G2是成立的；但在不可容的語法系統及編碼方法下，G2可能不成立。

研讨會第八單元于8月19日晚8點舉行，包含3場報告，由比利時根特大學數學系Andreas Weiermann教授主持。

第十七場報告由德國達姆施塔特工業大學數學系Anton Freund博士主講：沒有計算強度的獨立性。報告研究這樣一個問題：是否所有關于自然數的全稱命題都是在PA中可證的。雖然哥德爾不完全性定理提供了這個問題的否定答案，但在純數學領域中我們很少有這樣的反例。報告中Freund博士基于Kruskal定理提出了一個新的經典數學中的獨立性命題，與數學中其他已知的獨立性命題相比，此新命題具有不同的性質。

第十八場報告由奧地利維也納科技大學數學系Matthias Baaz教授主講：不完全性與一緻性證明。報告先分析了不完全性和一緻性問題的起源及其技術背景，探讨為何希爾伯特學派确信肯定的答案是可能的。Baaz教授探讨希爾伯特學派使用epsilon演算和Herbrand定理給出一緻性證明的工作，并解釋若從另一個角度來看，希爾伯特學派的一緻性證明是如何能提供有價值的信息。

第十九場報告由比利時根特大學數學系Fedor Pakhomov博士主講：第二不完全性定理的一般無參數形式。 此報告的研究動機是找到第二不完全性定理的一般抽象形式。Visser證明了：不存在連續的有窮可公理化理論T使得T可解釋其直謂概括理論PC(T).一個未解問題是：此定理中的連續性條件能否去掉。報告中回答了這一問題，給出了一個更具普遍性的結果：不存在有窮可公理化的理論T使得T可一維的解釋PC (T)。

研讨會第九單元于8月20日下午3點半舉行，包含2場報告，由beat365体育官网程勇教授主持。

第二十場報告由德國波鴻魯爾大學哲學系Sam Sanders博士主講：兩個關于哥德爾的主題。報告讨論數理邏輯中兩個繼承了哥德爾遺産的主題。首先，報告指出基于二階算術的反推數學的編碼方法是有缺陷的，之後報告構造了高階算術的模型使得在其中實數集是可數集，并基于高階反推數學提出了兩個基于可數性的新系統。最後，報告讨論了此研究在數學基礎和物理學中的意義。

第二十一場報告由芬蘭赫爾辛基大學數學與統計系Juliette C. Kennedy教授主講：哥德爾與範圍問題：從不完全性到可構成性。哥德爾曾提出我們能否發展一個絕對的可定義性概念。在哥德爾可構成集L的定義中，我們是在一階邏輯中定義了“可定義性”這一概念。一個自然的問題是：若在可構成集L的定義中，我們改變基底邏輯，不使用一階邏輯而使用其他的邏輯，我們是否仍可得到L？報告讨論了關于這一問題的最新研究進展。

研讨會第十單元于8月20日晚8點舉行，包含3場報告，由荷蘭皇家人文與科學學院Albert Visser院士主持。

第二十二場報告由西班牙巴塞羅那大學哲學系Joost J. Joosten教授主講：不完全性的極小邏輯。報告首先介紹與不完全性定理緊密相關的兩種邏輯：可證性邏輯與解釋性邏輯。之後讨論與不完全性定理擴充形式對應的多元可證性邏輯， 最後讨論刻畫不完全性的某種意義上的極小邏輯，并報告了關于嚴格正定可證性邏輯的最新研究進展。

第二十三場報告由捷克科學院Emil Jerabek教授主講：層級有界集。Vaught集合論VS是已知的最為簡單的實質不可判定理論之一。但VS的有限片段理論VS_k不是實質不可判定的。我們已知的VS_k的可判定的擴充具有很不自然的特征：如與外延性公理不兼容。報告研究VS的有限片段理論VS_k的性質及其複雜性， 給出VS_k的一個具體的可判定的完備化，并證明其具有很多自然的特征。

第二十四場報告由捷克科學院的Pavel Pudlak教授主講：弱算術的不完全性定理及其幾個強化形式。報告首先讨論第二不完全性定理（G2）的加強形式，之後讨論弱算術理論的第二不完全性定理，接着讨論有限版本的第二不完全性定理，最後Pudlak教授讨論了有限版本G2的一些應用。

8月20日晚12點，beat365体育官网程勇教授對本次研讨會進行了回顧與總結，并對主辦方beat365体育官网、4位開場緻辭人、報告人帶來的高水平精彩報告及參會者在讨論環節的積極參與表達誠摯的感謝。至此，為期5天的哥德爾不完全性定理國際線上研讨會圓滿落下帷幕。

（編輯：鄧莉萍 審稿：嚴璨）