本網訊（通訊員申國桢）2021年12月10日15:00，南京大學數學系孫智偉教授在振華樓B214報告廳為我院師生帶來了一場題為“Hilbert’s Tenth Problem over Z and Q”的精彩報告。報告由beat365体育官网邏輯學教研室申國桢副研究員主持。BEAT365唯一官网數學與統計學院王六權副教授、武漢理工大學理學院數學系彭甯甯副教授、華中科技大學數學與統計學院講師胡怡甯、以及beat365体育官网、數學與統計學院、計算機學院的同學參加了此次講座。

孫智偉教授從1900年國際數學家大會上希爾伯特提出的23個問題講起，其中的第10個問題（簡稱“希爾伯特第十問題”）問是否有能行算法來判定任一給定的丢番圖方程是否有解。接下來，孫老師介紹了圖靈、丘奇、克雷尼等人對“算法”概念的精确定義、以及這些定義的等價性，并由此引出著名的丘奇-圖靈論題：每個直觀上能行可計算的函數都是遞歸函數（或圖靈可計算函數）。然後，孫老師介紹了遞歸可枚舉集的概念，并給出了一個非遞歸的遞歸可枚舉集。

講座的第二部分，孫老師回顧了希爾伯特第十問題解決的曆程。他首先介紹了丢番圖關系和丢番圖集的概念，以及戴維斯的大膽假設：每個遞歸可枚舉集都是丢番圖集。一旦戴維斯的假設被證明。希爾伯特第十問題将被否定地解答。接下來，孫老師介紹了之後的十幾年間戴維斯等人對希爾伯特第十問題的研究工作，尤其是戴維斯、普特南、羅賓遜發表在數學年刊上的定理：每個遞歸可枚舉集都是幂丢番圖的。這離希爾伯特第十問題的最終解決隻有一步之遙：證明幂函數是丢番圖的，但最後一步也是最困難的一步。最後一步由俄羅斯數學家馬季亞謝維奇在1970年完成，成功地解決了希爾伯特第十問題。

講座的最後一部分，孫老師介紹了馬季亞謝維奇、羅賓遜以及他本人關于希爾伯特第十問題的進一步研究工作。希爾伯特第十問題被解決之後，一個自然的問題是：含有多少個未知數的丢番圖方程是否有解的問題就已經不可判定了？馬季亞謝維奇和羅賓遜在1973年證明了含有13個未知數的丢番圖方程在自然數集N上是否有解的問題不可判定。後來，馬季亞謝維奇把13縮小到9，這也是目前的最佳結果。如果考慮整數集Z上的丢番圖方程，最佳結果是由孫老師在1992年證明的“11未知數定理”：含有11個未知數的丢番圖方程在整數集Z上是否有解的問題不可判定。最後，孫老師介紹了與有理數集Q相關的一系列不可判定性結果。

在互動環節中，王六權老師與孫老師讨論了一些數論問題。彭甯甯老師與孫老師讨論了與實數集R有關的判定問題。整個講座學術氛圍濃厚，同學們均表示此次報告内容充實、思路清晰、收獲頗豐。

（編輯：鄧莉萍   審稿：嚴璨、吳昕炜）