本網訊（通訊員孫中陽）2021年12月22日，美國凱斯西儲大學Truman P. Handy哲學教授、數學教授，哲學系主任Colin McLarty教授通過Zoom平台作了題為“什麼是具體不完全性”的線上講座。此講座是beat365体育官网邏輯與數學基礎系列講座第22講，由beat365体育官网程勇教授主持，俄亥俄州立大學數學、哲學、計算機傑出大學教授Harvey Friedman擔任評論人。beat365体育官网、數學與統計學院以及來自海内外的老師和學生參加了此次講座。講座曆時2個半小時，在問答交流環節氣氛活躍，讨論環節超過一個小時。

Colin McLarty教授從希爾伯特關于具體、直觀、有限的證明論思想開始。希爾伯特相信形式公理化方法是一種富有成效的整理數學知識的工具。通過形式化，數學證明變成關于公理、證明和定理的問題，而後者都是有限的符号串。希爾伯特認為數論和幾何是直觀、具體、有限的數學；有限的符号串如理論的形式證明是直觀的，而無窮集不是直觀的。希爾伯特相信我們可通過直觀的有限方法證明數學理論的一緻性。Colin McLarty教授認為，這裡希爾伯特犯了一個偉大的錯誤,一個隻有有遠見的天才和偉大數學家才會犯的錯誤，但這個錯誤導緻了邏輯與數學基礎研究的巨大進展。哥德爾不完全性定理表明Hilbert錯誤地認為這些關于有限符号串的問題都可以用通常的有限方法來解決。哥德爾證明了皮亞諾算術（PA）的一緻性可以用算術命題來表達，但是皮亞諾算術卻不能證明它。

Colin McLarty教授指出，哥德爾之後學界對不完全性的研究無論在深度還是廣度上有很大的進展；人們創造了研究的新工具，如算術的子系統，及通過解釋的概念将不完全性的研究從算術理論擴充到任意的理論。解釋的概念提供了一種比較不同形式理論的方法。稱理論S在理論T中可解釋，是指可把理論S的詞彙翻譯成理論T的詞彙，使得S的公理在此翻譯下對應的語句在理論T中可證。曆史上最著名的解釋例子就是将歐幾裡得平面幾何公理解釋為實數代數定理。Colin McLarty教授指出歐幾裡得、雙曲幾何和代數中的實閉域理論這三個看起來不相關的理論實際是可相互解釋的。

哥德爾不完全性定理的證明包含了很多新的想法：如算術化、對角化、遞歸函數等。它是邏輯中的一個偉大成果。Harvey Friedman教授指出，我們可将哥德爾第一不完全性定理看作一個存在性定理，證明了哥德爾語句的獨立性，雖然這一定理是邏輯學上的巨大成就，但哥德爾語句卻沒有令人滿意的數學意義；不完全性定理不能被看作是關于數學不完全性的定理，哥德爾不完全性定理的證明是個邏輯證明而非數學證明，哥德爾語句沒有自然的數學意義。

哥德爾語句會影響經典數學嗎？哥德爾語句和數學家們通常感興趣的數學命題間的差距有多大？20世紀70年代，Harvey Friedman教授開始了對具體不完全性的研究，并發現了很多來自經典數學的獨立于皮亞諾算術的算術命題。Colin McLarty教授指出，哥德爾語句與經典數學命題之間的差距并不是絕對的，Harvey Friedman教授發現了哥德爾語句和經典數學命題之間的許多橋梁。

緊接着，Colin McLarty教授将具體不完全性研究與希爾伯特的具體、直觀、有限的證明論思想相比較，指出1980年後對不完全性的研究使得哥德爾兩個不完全性定理在希爾伯特的意義上變得更加具體，與希爾伯特最初關于證明論的想法相吻合。

接下來，Colin McLarty教授重點分析了Albert Visser教授關于無參數版本的一緻性命題的研究，并将其與希爾伯特具體、直觀、有限的證明論目标進行比較。這一版本給出了哥德爾第二不完全性定理更一般、更系統的形式。它将哥德爾第二不完全性定理表述為：不存在遞歸可公理化的理論T使得Q+Con (T)在T中可解釋，其中Con (T)是表示理論T的一緻性的算術語句，Q表示Robinson算術。若T不能解釋Q+Con (T)，這意味着理論T不能證明其自身的一緻性。Colin McLarty教授讨論了Albert Visser的無參數版本的一緻性命題與希爾伯特具體、直觀、有限的證明論思想間的關聯。Colin McLarty教授指出，對無參數的絕對版本的不完全性定理的研究使我們可不使用算術化方法，他完全同意Albert Visser的說法:“無算術化版本的哥德爾不完全定理更接近真實的數學定理”。

講座的最後，Colin McLarty教授讨論了皮亞諾算術PA是否一緻的問題。他指出，皮亞諾算術的歸納公理是适用于任意的算術公式，這是個很強的公理；但當我們在數學和邏輯中使用歸納公理歸納證明某一命題時，隻對某些特定的公式使用了歸納法，因此不排除歸納公理會導緻矛盾的可能性。Colin McLarty教授指出，不完全性定理的證明使用了歸納公理的某些特殊形式，而這些特殊形式在經典數學的證明中幾乎是不會用到的；因此，不完全性定理在一定程度上提供了更多的證據表明PA是一緻的，增長了我們對PA的一緻性的信心。Colin McLarty教授指出，如果PA是不一緻的，那麼Nelson的非标準分析的重要性會更加凸顯。

報告結束後，具體不完全性國際研究專家Harvey Friedman教授高度肯定了Colin McLarty教授的報告，并給出幾點評論。Harvey Friedman教授提出第二不完全性定理的另一種等價形式，并介紹了具體不完全性研究的前沿進展，及其與經典數學的關聯。在讨論環節，Harvey Friedman教授進一步和Colin McLarty教授就數學中的具體不完全性，及費馬大定理在弱算術理論中的可證性等問題展開讨論。之後，兩位海外學者、程勇教授及國内學生就一緻性證明、希爾伯特綱領與直覺主義間的關聯、哥德爾語句與數學中具體的獨立性語句間的關系、具體不完全性與元數學間的關聯、不使用算術化的不完全性定理的證明等問題與報告人進行交流，Colin McLarty教授耐心回答了大家的問題。

最後，主持人BEAT365唯一官网程勇教授感謝Colin McLarty教授的精彩報告和Harvey Friedman教授的精彩評論，Colin McLarty教授的線上學術講座圓滿結束。

(編輯：鄧莉萍   審稿：嚴璨、吳昕炜)