【摘 要】基于當前文獻中對數學深度的研究，我們沒有一個判斷給定數學定理是否深刻的被廣泛接受的一般标準。不完全性定理被廣泛認為是邏輯領域“深刻”的數學定理。本文将不完全性定理作為研究數學定理的深度的一個案例。本文研究如下兩個關于不完全性定理的深度的問題：刻畫不完全性定理的深度的标準是什麼，如何基于這些标準論證不完全性定理的深度。基于文獻中最新研究成果，我們提出三個刻畫不完全性定理的深度的标準：成果的影響力、結論的豐富性、理論的統一性； 并基于這三個标準論證不完全性定理的深度。

【關鍵詞】不完全性定理、數學深度、不完全性的限度、内涵性問題

 

一、導論

在評價同行的研究成果時，我們常使用“深刻”這個詞形容成果的“深度”。本文對“深度”的讨論限定于數學定理。對于何謂“深刻的數學定理”，學界有不同的看法。即使人們對某一定理是否深刻達成共識，人們對此定理“為何深刻”的理由仍可能有不同的看法。文獻中關于數學定理的深度的哲學讨論中，人們讨論得最多的四個問題是：（1）對給定的定理，對其是否深刻學界是否達成共識？（2）深刻的數學定理是否具有某些共同特征？（3）“深度”和其他一些概念間的區别：如豐富性、重要性、難度、基礎性、解釋力、優美性等。（4）數學深度是數學定理内在的客觀特征還是與我們的興趣和能力緊密相關的？對“數學深度”這一概念，我們沒有精确的定義，目前也沒有一個判斷給定數學定理是否深刻的被廣泛接受的一般标準。被認為深刻的數學定理可能具有不同的特征，不同的定理可能有刻畫它們的深度的不同标準。雖然我們很難給出一個判定任意給定的定理是否深刻的一般标準，一個自然的問題是：對于被學界公認為“深刻”的單個數學定理，我們能否找到刻畫此定理的深度的一些标準，并基于這些标準論證此定理的深度。

 

哥德爾是20世紀最偉大的邏輯學家，他最重要的成果是于1931年發表的不完全性定理。不完全性定理是20世紀最重要深刻的發現之一，是現代邏輯發展史上重要的裡程牌，它對邏輯學、哲學、數學、理論計算機科學等領域的發展産生了廣泛、深刻而持久的影響，極大的改變了1931年之後數學基礎研究的面貌。不完全性定理被廣泛認為是邏輯領域“深刻”的數學定理。本文的目标不是給出一個判斷數學定理是否深刻的一般标準。相反，本文的策略是将不完全性定理作為研究數學定理的深度的一個案例，希望通過對此案例的深入分析，加深我們對“數學深度”這一概念的理解。本文集中于研究這樣兩個關于不完全性定理的深度的方法論問題：刻畫不完全性定理的深度的标準是什麼，如何基于這些标準論證不完全性定理的深度。基于文獻中的最新研究成果，我們提出三個刻畫不完全性定理的深度的标準：成果的影響力、結論的豐富性、理論的統一性；并基于這些标準論證不完全性定理的深度。在哥德爾不完全性定理發表90周年之際，我們以此文紀念哥德爾這一偉大的學術成果，并以盡量非形式的語言向國内同行介紹哥德爾之後國際學界關于不完全性定理研究的新進展。

 

二、不完全性定理

本節我們簡要介紹不完全性定理的内容及其證明的主要思想。我們先解釋若幹文中用到的概念。一個形式理論包括如下基本構件：形式語言、公理、推演規則。形式理論的形式語言包括符号表和公式的形成規則。 符号表包括邏輯符号與非邏輯符号。有限個符号構成符号串。公式是一類根據形成規則遞歸定義的“有意義”的符号串。公理是一類特殊的公式（包括邏輯公理和非邏輯公理），是此理論中演繹推理的出發點。推演規則告訴我們如何由給定的一些公式推出其他公式。 給定理論   及   語言中的公式  ，我們可定義何謂“  在理論   中是可證的”(記為T├A)： 存在一個有限的公式序列，使得此序列的最後一個公式是   ，對此序列中的任意公式   ，   或者是理論   的公理，或者是由此序列中公式   前面的公式使用某種推演規則而得到的。皮亞諾算術PA，羅賓遜（Robinson）算術Q和理論R是不完全性研究中三個重要的形式理論。 

算術化是數理邏輯中的一種重要方法。它的思想是給形式理論的符号表編碼，建立符号和自然數間的一一對應。因有限的自然數序列可被單個自然數編碼，我們可建立符号串和自然數間的一一對應。這樣符号串上的關系和運算就可轉換為自然數上的關系和運算。通過算術化，任何公式或公式序列都可被一個自然數編碼（稱為哥德爾編碼）。

我們稱理論  是遞歸可公理化的，若  公理的哥德爾編碼集是遞歸集（直觀的說，存在一個能行的算法使得任給理論   語言中的公式   ，此算法可判定   是否是   的公理)。我們稱理論   是一緻的，若不存在公式   使得   和   都在   中可證。我們稱理論   是完全的，若對理論   語言中的任意公式   ，或者   在   中可證，或者   在   中可證。我們稱   是   的不可判定命題，若   和   都是在   中不可證的。因此，理論T是不完全的當且僅當存在T中的不可判定命題。下文中，若未作特殊說明，我們假設理論   是Q的遞歸可公理化的一緻擴充。我們用[n]表示自然數   在   的語言中所對應的項。給定T語言中的公式ϕ，我們用[ϕ]表示ϕ的哥德爾編碼在T的語言中所對應的項。

哥德爾在證明不完全性定理時使用的是羅素-懷特海《數學原理》中的形式系統P，其是基于戴德金-皮亞諾算術公理及自然數序列的簡單類型理論。哥德爾1931年發表的第一不完全性定理的原始形式是：對任何由形式系統P基礎上增加一遞歸的公理集而形成的具有與P相同語言的形式理論   ，若   是   -一緻的，則   是不完全的。哥德爾沒有發表第二不完全性定理的證明細節，而隻是宣告了這一結果：我們無法在系統P内證明系統P的一緻性。不完全性定理的原始表述受囿于很複雜的系統P及其語言，後人的研究極大的改進了此定理的表述形式。下面是現代版本的哥德爾不完全性定理：

第一不完全性定理 令   為Q的遞歸可公理化的擴充。若   是   -一緻的，則   是不完全的。

第二不完全性定理 令   為Q的遞歸可公理化的擴充。若   是一緻的，則“   的一緻性”在   中不可證。

哥德爾第一不完全性定理證明的三個主要思想是：算術化、可表示性、自指構造。假設理論   是Q的遞歸可公理化的擴充。通過算術化，我們可以建立   的語言中的表達式和自然數間的一一對應。在此對應下，我們可将關于理論   的系統性質的命題轉換成關于自然數的命題。哥德爾證明了：所有的遞歸關系都是在Q中可表示的。因此，關于理論   的系統性質的遞歸關系是在Q中可表示的，從而在Q中有對應的表示公式。這樣，我們可以在Q内“談論”理論   的系統性質，這是算術化思想的本質。

下面，我們給出現代版本哥德爾不完全性定理的證明概要。通過算術化，我們可定義表達理論   内演繹證明的自然數集上的關系。例如，我們可定義自然數集上的如下二元關系：   成立當且僅當   是編碼為   的公式在   中的一個證明的編碼。 我們可以證明，關系   是遞歸的。因遞歸關系都在Q中可表示，令   是   在Q中的表示公式。由證明謂詞   我們可定義可證謂詞   。最後，哥德爾構造了語句G（稱為哥德爾語句），其斷定自身在   中不可證。哥德爾證明了：若   是一緻的，則G在   中不可證；若   是   -一緻的，則   也在   中不可證。 因此，則若   是   -一緻的，則   是不完全的。

由可證謂詞我們可定義一緻性命題   ；   是一算術語句，其含義是形如0=1的矛盾式在T中不可證。 如上構造的可證謂詞   稱為标準可證謂詞。我們稱由标準可證謂詞   構造的語句   為典範一緻性命題。本文中，若未作特别說明，我們假定是用   來表達理論   的一緻性。由标準可證謂詞   的性質，我們在中可證明G是等價于   。由此，我們得到第二不完全性定理：若   是一緻的，則   在   中不可證。

哥德爾第一不完全性定理的證明假設   是   -一緻的。羅瑟（Rosser）1936年改進了哥德爾的結果。羅瑟的證明僅假設理論   是一緻的，而“一緻”是比“   -一緻”更弱的條件。

羅瑟第一不完全性定理 若   是Q的遞歸可公理化的一緻擴充，則   是不完全的。

我們強調哥德爾和羅瑟的第一不完全性定理間的區别。下文中，我們用G1表示羅瑟第一不完全性定理，G2表示第二不完全性定理。下面，我們分别基于成果的影響力、結論的豐富性和理論的統一性這三個标準論證不完全性定理的深度。 不完全性定理滿足這三個标準的數學證據有很多，限于篇幅，本文我們将隻讨論關于這三個标準的最重要的數學證據。

 

三、成果的影響力

本節中，基于哥德爾之後人們對不完全性定理的研究成果，我們分析不完全性定理對數學基礎、哲學、經典數學及理論計算機科學的影響。事實上，深入分析不完全性定理對這裡任何一個領域的影響都需要專著的篇幅。 這裡我們不可能讨論不完全性定理對這些領域各個方面的影響，而隻能概述不完全性定理對這些領域的影響的主要方面。

不完全性定理對數學基礎的影響主要體現在如下五個方面。第一，不完全性定理揭示了在邏輯和數學中普遍存在的不完全性現象。 不完全性定理告訴我們任何包含足夠算術信息（如Q）的遞歸可公理化的一緻理論都存在不可判定命題（即“遺漏”一些算術真理）。哥德爾構造的不可判定命題是純粹的邏輯構造，沒有自然的數學含義。在這個意義上，我們可以說哥德爾的證明揭示了PA的邏輯不完全性。 在哥德爾之後，一個重要的問題是：PA是否也是數學上不完全的？是否存在具有實在數學含義的不可判定的算術命題（如數論、組合中的命題）？在哥德爾之後，人們在經典數學中發現了很多具有實在數學含義的在PA中不可判定的算術命題。這些發現揭示了比一階算術更強的形式理論（如高階算術和公理集合論ZFC）的數學上的不完全性。例如，哥德爾和柯恩證明了連續統假設是獨立于ZFC的。事實上，人們在很多數學領域中（如分析、代數、拓撲、數理邏輯等）發現了大量具有實在數學含義的在ZFC中不可判定的數學命題。

第二，不完全性定理在一定意義上揭示了形式化方法（或形式理論）的本質局限性。形式化方法是一種在邏輯與數學中廣泛使用的方法。 不完全性定理揭示了包含Q的遞歸可公理化的一緻理論的證明能力的限度。不管理論   有多強，隻要   是遞歸可公理化的一緻理論且包含足夠的算術信息（如Q），總存在理論   中的不可判定命題。 若命題   在理論   中是不可判定的，我們總可找到比理論   更強的遞歸可公理化的一緻理論   使得命題   在   中可證。然而，不完全性定理告訴我們，雖然理論   中的不可判定命題   在理論   中可證，但是理論   仍然存在不可判定命題。因此，不管我們怎麼增強理論   ，隻要   包含足夠的算術信息，它的任意遞歸可公理化的一緻擴充都存在不可判定命題。Q是很弱的算術理論，因此我們可以說不完全性定理揭示了大多數形式理論的證明的限度。

第三，不完全性定理揭示了“真”和“可證”這兩個概念間的本質區别。在不完全性定理之前，人們普遍認為一個數學命題為真和其可證是相同的概念。特别的，一算術命題為真是指其在算術的标準模型下為真，一算術命題可證是指其在PA中可證。不完全性定理揭示了“可證”和“為真”這兩個概念間的本質區别：在PA中可證的算術命題都為真，但存在在PA中不可判定的算術真命題。

第四，不完全性定理否定了懷特海-羅素的一種強版本的邏輯原子主義綱領：數學可以還原為邏輯。強版本的邏輯原子主義綱領包含兩個基本觀點：數學語言可還原為邏輯語言，數學定理可還原為邏輯證明。 這種強版本的邏輯原子主義綱領期望建構一種形式系統使得在其中可以形式化全部數學理論，且可證明所有的數學真命題，從而表明數學可還原為邏輯。G1直接否定了這種強版本的原子主義綱領：不存在一種形式理論在其中可以證明所有的數學真理。

第五，不完全性定理對希爾伯特綱領的發展産生了深刻的影響。希爾伯特綱領的一個主要目标是用有限性方法證明數學理論的一緻性。人們常認為G2直接否定了希爾伯特綱領。 然而，學者們對此有不同的看法。對于“有限性方法”這個概念，我們沒有精确的定義；對于何謂“有限性方法”，人們有不同的看法。若“用有限性方法證明算術的一緻性”是指算術的一緻性在PA中可證，那麼在這種意義上，我們可以說G2直接否定了希爾伯特綱領的這個目标。若我們将可數序數長度的超窮歸納法也視為“有限性方法”，則根岑（Genzen）的結果表明，我們可在某種比PA稍強的理論中使用有限性方法證明PA的一緻性。因此，G2并非完全否定了希爾伯特綱領，而是表明了希爾伯特綱領應用範圍的限度（其全局的實現是不可能的）。在不完全性定理之後，希爾伯特綱領得到了很好的局部實現。關于希爾伯特綱領的後續發展及其對數理邏輯（特别是證明論）和數學哲學的影響，文獻中有大量的讨論。

下面我們讨論不完全性定理對經典數學的影響。不完全性定理是原創性的數學成果。一種流行的看法是：不完全性定理的證明使用的是純邏輯的方法，與經典數學沒有什麼關聯。在不完全性定理的證明中，哥德爾語句是純粹的邏輯構造，沒有實在的數學含義，其表達的不是關于自然數的算術性質，而是關于算術形式理論自身的性質。在哥德爾之後，一個自然的問題是： 我們能否找到具有實在數學含義的不可判定的算術命題？我們稱由具有實在數學含義的不可判定命題所揭示的不完全性現象為具體不完全性。事實上，具體不完全性在數學中是普遍存在的。在哥德爾之後，人們發現了很多在PA中不可判定的具有實在數學含義的算術語句。這些語句的構造沒有使用算術化方法和可證謂詞，但比哥德爾語句更複雜：哥德爾語句在PA中是等價于典範一緻性命題   ；而這些語句在   中也是不可判定的。

哈維-弗裡德曼（Harvey Friedman）是具體不完全性研究的國際知名專家。他的工作将具體不完全性的研究從一階算術擴充到高階算術和集合論。在他的關于具體不完全性的專著“布爾關系理論與不完全性（Boolean Relation Theory and Incompleteness）”中，他發現了很多在高階算術的不同層級中不可證的關于算術和分析的數學定理的例子。

和其他數學定理不同的是，不完全性定理的影響力并非僅限于數學家和邏輯學家的圈子，它在哲學中也有廣泛的影響。自其發表以來，不完全性定理引發了與其相關的一些哲學問題的廣泛而持久的讨論：如人類智能與機器智能的本質及其區别，機器智能的限度等。限于篇幅，本文無法讨論哥德爾的哲學思想及其對發現不完全性定理的影響。這裡我們重點讨論兩個與不完全性定理緊密相關的哲學論題：反機械主義論題和哥德爾析取論題。

現有文獻中有不少關于不完全性定理對“人類心智是否可機械化”這一哲學問題的影響的讨論。反機械主義論題認為人類心智是不可機械化的。單獨個體的心智能力是很有限的，這裡我們不是考慮單獨個體的心智能力，而是考慮理想化的人類心智本質上可以做什麼。人類心智包括很多維度，這裡我們僅考慮人類心智的數學輸出：即人類心智所能認識的數學真理。圖靈提出了一種計算模型：圖靈機，并通過此模型給出“可機械化”概念一種精确的數學刻畫。反機械主義論題可更精确的表述為：人類心智的數學輸出超越任何圖靈機的數學輸出。這裡，我們不讨論“人類心智是否可機械化”這個一般的哲學問題，而僅讨論不完全性定理與反機械主義論題間的關聯。對G1的一種流行解釋是：G1蘊涵反機械主義論題。文獻中有不少基于不完全性定理的支持反機械主義論題的論證，其中最著名的是盧卡斯（Lucas）論證和彭羅斯（Penrose）論證。盧卡斯論證在文獻中被廣泛的批評。彭羅斯提出一個比盧卡斯論證更複雜精細的支持反機械主義論題的論證。彭羅斯論證是文獻中被廣泛讨論、仔細分析的支持反機械主義論題的最複雜、最有前景的一個論證。文獻中最新研究表明，認為G1蘊涵反機械主義論題的論證是源于對不完全性定理的某些誤解。現今絕大多數哲學家和邏輯學家認為盧卡斯論證和彭羅斯論證及其變體都不是令人信服的。然而，人們在對盧卡斯論證和彭羅斯論證的錯誤根源的認識上存在分歧。克拉耶夫斯基（Krajewski）在最近的文章中詳細讨論了基于不完全性定理的反機械主義論證的曆史，仔細分析了盧卡斯論證和彭羅斯論證的問題所在，并得出“G1并非蘊涵反機械主義論題”的結論。

哥德爾本人并不認為不完全性定理蘊涵反機械主義論題，盡管他相信人類心智是不可機械化的，且可認識所有的數學真理。哥德爾相信，與圖靈機相比，人類心智的獨特之處在于它能提出新公理，建構新的數學理論。基于他的理性樂觀主義，哥德爾相信人類心智能夠認識所有的算術真理。然而，哥德爾承認，他既不能給出“人類心智不可機械化”的令人信服的論證，也不能給出“不存在絕對不可判定命題”的令人信服的論證。哥德爾認為，從不完全性定理他至多可得出如下一個更弱的結論（稱為哥德爾析取論題(GD)）：若人類心智是可機械化的，則存在絕對不可判定命題（即人類心智無法認識的數學命題）。在哥德爾看來，GD是可由不完全性定理推導出來的有哲學意義的數學定理。

科爾納（Koellner）對GD的分析是現有文獻中對此論題的最全面精确的分析。 科爾納認為，要精确的讨論GD并證明不完全性定理蘊涵GD，首先得在恰當的形式理論中形式化GD。科爾納構造了理論DTK，在DTK中形式化GD，并證明了如下結果：（1）GD在DTK中可證；（2）盧卡斯論證和彭羅斯論證在DTK中都不成立；（3）GD的兩個析取支命題“人類心智不可機械化”和“存在絕對不可判定命題”在DTK中對應的形式化命題在DTK中都不可證。

最後，我們簡要讨論不完全性定理對理論計算機科學的影響。理論計算機科學研究計算的能力和限度。不完全性定理的證明中包含若幹可計算性理論的重要想法。哥德爾在證明不完全性定理中使用的原始遞歸函數和算術化方法是理論計算機科學研究中兩種很重要的工具。 原始遞歸函數概念是在哥德爾之後發展起來的遞歸論這一數理邏輯分支的基礎概念和理論基石之一。算術化方法的思想是用自然數來給形式理論的一些語法對象如項、公式、證明等編碼。 算術化方法在理論計算機科學研究中是種很關鍵且有用的技術。在理論計算機科學中，否定性結果構成一種很重要和獨特的傳統。不完全性定理是否定性結果的一個範例。在不完全性定理之後，人們發現了很多邏輯中的重要否定性結果，如塔斯基真不可定義定理、連續統假設獨立性定理等。在理論計算機科學中，否定性結果的一個典型例子是圖靈停機問題不可判定性定理。圖靈停機問題和不完全性定理也有緊密的關聯。更多關于不完全性定理對理論計算機科學的影響的讨論，參見研究文集“哥德爾與數學基礎：真的視野”。

 

四、結論的豐富性

本節我們從結論的豐富性的标準論證不完全性定理的深度。本文中，定理結論的豐富性是指此定理及其證明可派生出的肯定性或否定性結果的多樣性。 我們從如下三個方面論證不完全性定理的結論豐富性：不完全性定理的不同證明，不完全性定理的可推廣性（在何種程度上不完全性定理可被推廣），不完全性定理成立的限度（在何種情形下不完全性定理不成立）。

不完全性定理結論的豐富性的第一個标志是證明方法的多樣性。哥德爾之後，人們發現了很多不完全性定理的不同證明。我們稱G1的證明是構造性的，若存在一個能行的算法将不可判定命題顯式地構造出來。G1的非構造性證明僅斷定不可判定命題的存在，但沒有能行地将此不可判定命題顯式地構造出來。我們稱G1的證明具有羅瑟特征，若它的證明僅需假設   是一緻的，而不需假設更強的結論（如   是   -一緻的）。

我們可依據如下特征對文獻中的不完全性定理的不同證明進行分類：使用證明論方法、使用遞歸論方法、使用模型論方法、使用算術化方法，使用對角線引理、使用邏輯悖論、使用構造性證明、具有羅瑟特征、使用柯爾莫哥洛夫（Kolmogorov）複雜性、構造有實在數學含義的不可判定命題。不完全性定理的一種證明可能具有若幹以上特征。以上這些特征都不是證明不完全性定理的必要條件： 我們既可找到具有這些特征的不完全性定理證明的例子，也可找到不具有這些特征的不完全性定理證明的例子。 哥德爾第一不完全性定理的證明具有如下特征：使用了算術化等證明論方法，沒有直接使用對角化引理、證明是構造性的、不具有羅瑟特征、哥德爾語句類似于說謊者悖論中的說謊者語句，哥德爾語句沒有實在的數學内容。不完全性定理的這些不同的證明方法揭示了不同領域間的關聯：證明論、遞歸論、邏輯悖論、模型論、柯爾莫哥洛夫複雜性、數論等。

不完全性定理結論的豐富性的第二個标志是它具有多種推廣形式。G1和G2都既可推廣到PA的擴充理論也可推廣到PA的子理論。不完全性定理這些豐富的推廣形式揭示了不完全性定理的解釋力量和廣泛的可應用性。這裡我們簡要給出G1的兩類推廣形式的例子。

第一，G1也可推廣到一些非遞歸可公理化但算術可定義的一緻理論。G1告訴我們，PA的任意遞歸可公理化的一緻擴充都是不完全的。但在一定條件下，這一結論可推廣到PA的一些非遞歸可公理化但算術可定義的擴充理論。

第二，通過解釋的概念，G1可推廣到很多具有不同語言的一緻理論。我們可定義G1對一緻理論   成立當且僅當對任意遞歸可公理化的一緻理論   ，若   在   中可解釋，則   是不完全的。我們知道G1對PA成立。我們可證明G1對很多解釋度比PA弱的理論也成立。例如，G1對Q和R都成立。理論R在解釋度意義上比Q弱，人們常認為理論R是使得G1成立的在解釋度意義上的最弱理論。事實上，G1對很多在解釋度意義上比理論R弱的理論也成立。

G2也有多種推廣形式，這裡我們僅舉兩個典型例子。首先，我們可通過解釋的概念推廣G2。一個經典的結論是：不存在遞歸可公理化的一緻理論   使得   在   中可解釋。由此可得，對任意遞歸可公理化的一緻理論   ，若Q在   中可解釋，則G2對   成立（即   在   中不可證）。 其次，洛布（Löb）定理是G2的一種重要推廣形式：對Q的任意遞歸可公理化的一緻擴充理論   ，對任意标準可證謂詞   和公式   ，若“ϕ在T中可證蘊涵ϕ”在T中可證，則ϕ在T中可證。由此可得，G2對   成立。

最後，我們讨論關于不完全性定理的否定性結果：不完全性定理成立的限度。對不完全性定理成立的範圍的研究揭示了不完全性定理可應用性的限度，極大的更新了我們對不完全性定理可應用範圍的理解，提供了論證不完全性定理的結論豐富性的數學新證據。

我們先讨論G1成立的限度。首先，很多一緻的理論是完全的。其次，一算術理論是否完全與理論的語言有關。在語言   中，PA是不完全的。但在語言   和   中分别存在遞歸可公理化的完全的算術理論。關于G1是否成立與理論的語言的關系，我們作如下幾點說明：第一，包含足夠的關于算術的信息對于證明G1是必要的。例如，歐幾裡得幾何不是關于算術而是關于點、線、面的理論，塔斯基證明了歐幾裡得幾何是完全的。第二，包含關于算術的乘法信息對于證明G1是必要的。若一理論隻包含關于算術的加法信息而不包含關于算術的乘法信息，其可能是完全的。例如：普雷斯堡(Presburger)算術是關于算術的加法的理論，但其是完全的。

我們知道，G1對Q的某些算術可定義的一緻擴充成立。但并非Q的所有算術可定義的一緻擴充都是不完全的。我們已知很多使得G1成立的在解釋度意義上比R弱的理論。當前的一個前沿問題是：是否存在使得G1成立的解釋度意義上的極小理論。

下面我們讨論G2成立的限度。無論數學或哲學上，G2與G1是本質上不同的。它們的區别在于：對于G1，要證明一理論是不完全的，僅需證明存在一不可判定命題即可，我們并不關心此命題的内容（此命題并不必須是關于此理論的系統性質）。而對于G2，我們要證明   的一緻性在   中不可證，就需恰當的形式化“   的一緻性”這個概念。因此，對于G2，我們需關心如何在   中表達   的一緻性。我們稱G2對理論   成立，若“   的一緻性”在   中不可證。然而，這個定義是模糊的。G2對理論   是否成立取決于我們如何在   中形式化“   的一緻性”。我們稱這一現象為G2的内涵性問題。在我們可不使用算術化和可證謂詞等純邏輯方法來構造有實在數學含義的不可判定命題的意義上，我們可以說G1是外延性的。然而，G2是内涵性的，與G1有本質的區别。如我們下面将讨論的，G2對理論  是否成立取決于很多因素。現有文獻中有不少關于G2的内涵性問題的讨論。

我們稱公式   是理論   公理集的表示公式，若對任意的自然數   , PA├ϕ([n])當且僅當   是   的某一公理的編碼。若未作特殊說明，下文中我們作如下假設：（1）理論   是Q的遞歸可公理化的一緻擴充；（2）我們使用典範一緻性命題Con(T)表達理論T的一緻性；（3）我們默認使用哥德爾編碼法；（4）我們使用的可證謂詞是标準可證謂詞；（5）理論   公理集的表示公式是   公式。

基于文獻中關于不完全性的研究，下面我們說明G2對理論   是否成立取決于如下因素：(1) 理論   的選擇；(2) 表達一緻性的方式；(3) 可證謂詞的選擇；(4) 編碼方法的選擇；(5) 理論   公理集的表示公式的複雜性。

對這些因素作兩點說明：第一，這些因素間不是完全相互獨立的，但它們強調的側重點有所不同。例如，給定一種表達一緻性的模式，選擇不同的可證謂詞也導緻不同的表達一緻性的方式。但(2)強調的是表達一緻性的整體方式，而不是具體可證謂詞的選擇。而(3)強調的是具體可證謂詞的選擇。第二，當我們讨論G2是否成立是如何取決于某種因素時，我們是假定其他的因素以我們如上假設的方式保持不變，而僅讨論此種因素的變動是如何影響G2是否成立的。以因素(2)為例，當我們說G2對理論   是否成立取決于表達一緻性的方式時，我們是說：假設   是Q的遞歸可公理化的一緻擴充，使用的是标準可證謂詞和哥德爾編碼法且   公理集的表示公式是   公式，不同于典範一緻性命題的表達一緻性的方式可能會導緻G2不成立。

下面我們簡要讨論G2是否成立是如何取決于以上五個因素。第一，G2對理論   是否成立取決于理論   的選擇。若理論   并非包含足夠多的關于算術的信息，則G2可能不成立：即   的一緻性在   中可證。例如，威拉德（Willard）研究G2對理論   不成立的邊界情形，并構造了一些算術理論，它們不能證明後續函數是全函數，但可證明自身的一緻性。

第二，G2對理論   是否成立取決于表達一緻性的方法。何謂一個理論的一緻性命題？不同學者有不同的看法。在研究文獻中，我們常用理論   語言中的算術語句表達   的一緻性。然而，仍存在不同于典範一緻性命題的表達一緻性的方法使得G2不成立：即在這種表達方式下，其對應的一緻性命題在理論   中可證。

第三，G2對理論   是否成立取決于可證謂詞的選擇。維瑟（Visser）論證道，一緻性命題不是一個絕對的概念，而是與可證謂詞的選擇有關。我們知道G2對标準可證謂詞成立，即理論   的典範一緻性命題在   中不可證。然而，對于非标準可證謂詞，G2可能不成立。一種重要的非标準可證謂詞是羅瑟可證謂詞，其是羅瑟在證明G1時引入的。我們可證明，用羅瑟可證謂詞表達的一緻性命題在理論   中可證。

第四，G2對理論   是否成立取決于編碼方法的選擇。格拉布邁爾定義了一類可接受的編碼方法，并證明了G2對這類可接受的編碼方法是成立的；然而，格拉布邁爾指出，若一種編碼方法是不可接受的，則G2可能不成立。

最後，G2對理論   是否成立取決于理論   公理集的算術複雜性。給定理論   公理集的表示公式，我們可定義其對應的可證謂詞和一緻性命題。 我們已知，若理論   公理集的表示公式是   公式，則其對應的一緻性命題在   中不可證。若理論   的公理集具有不同複雜性的表示公式，則在此種表示公式下，G2可能不成立，即其對應的一緻性命題可能在   中可證。例如，費弗曼構造了理論   公理集的一個複雜性為   的表示公式，使得其對應的一緻性命題在   中可證，即G2不成立。

 

五、理論的統一性

下面，我們從理論的統一性的标準論證不完全性定理的深度。理論的統一性是指建立起的不同領域理論間的關聯。下面我們從如下方面說明不完全性定理的理論統一性：經典數學與元數學（證明論）間的關聯；不完全性與不可判定性理論間的關聯；不完全性與邏輯悖論間的關聯；不完全性與可證性邏輯間的關聯；不完全性與真的形式理論間的關聯。

哥德爾不完全性定理的證明使用了數學和邏輯的方法。例如，在哥德爾的證明中，他使用了如中國剩餘定理和素數唯一表示定理之類的數論方法，及如算術化、可表示性、自指構造之類的元數學方法。前面我們指出，在哥德爾之後，人們發現了很多具有實在數學含義的在PA中不可判定的算術命題。 之前的讨論強調通過純邏輯方法構造的不可判定命題與具有實在數學内容的不可判定命題間的區别。我們知道，哥德爾語句的構造使用了算術化方法，而具有實在數學内容的不可判定命題如佩爾斯-哈靈頓（Pairs-Harrington）語句的構造沒有使用算術化方法。但一個有趣、令人驚訝的事實是，前面我們給出的具有實在數學内容的不可判定命題實際上是等價于某種可通過算術化方法來表示的元數學命題。這一事實揭示了經典數學中的具有實在數學含義的不可判定命題與元數學的算術命題間的關聯。

最後，我們簡要的讨論不完全性定理與不可判定性理論、邏輯悖論、可證性邏輯及真的形式理論間的關聯。哥德爾的工作和可計算性理論及不可判定性理論間有緊密的關聯。哥德爾的證明中包含了一些可計算性理論中一些重要思想的萌芽：如算術化方法、原始遞歸函數等。算術化方法和遞歸函數在遞歸論的發展中扮演了重要的角色。我們稱理論   是實質不可判定的，若   的遞歸可公理化的一緻擴充都是不可判定的。我們稱理論   是實質不完全的，若   的遞歸可公理化的一緻擴充都是不完全的。我們可證明，理論   是實質不可判定的當且僅當   是實質不完全的。這表明，完全性/不完全性與可判定性/不可判定性之間是緊密關聯的。我們可通過停機問題的不可判定性證明G1和G2。這些都表明了不完全性定理和不可判定性理論間的緊密關系。

當前關于不完全性定理的研究揭示了不完全性定理是與邏輯悖論緊密相關的。哥德爾指出：“任何認識論上的悖論都可用來構造一個不可判定命題”。哥德爾語句使用的是“證明”概念，而說謊者悖論中的說謊者語句使用的是語義“真”概念。哥德爾語句可看作一種形式化版本的說謊者語句（用“可證”概念取代“真”概念）。除了說謊者悖論，還有很多其他的邏輯悖論可通過恰當的形式化被用來證明不完全性定理：如貝瑞（Berry）悖論，格林靈-納爾遜（Grelling-Nelson）悖論，意外考試悖論，亞布洛（Yablo）悖論等。這些研究證實了哥德爾如上關于不完全性與邏輯悖論間的關聯的觀點。

作為對角化引理的應用，不完全性定理的一個重要的結論是塔斯基真不可定義定理。令算術可證集是所有在PA中可證的算術語句組成的集合，算術真語句集是所有在算術的标準模型中為真的算術語句組成的集合。不完全性定理揭示了算術可證集是算術真語句集的真子集。由塔斯基真不可定義定理，算術真語句集在算術的标準模型中是不可定義的。算術可證集在算術的标準模型中是可定義的，但不是遞歸集。維瑟由塔斯基真不可定義定理給出G2的一個非自指性證明。這些研究揭示了不完全性定理與塔斯基真不可定義定理間的關聯。

可證性邏輯是研究不完全性及算術的元數學的一種重要且有用的工具。曆史上，可證性邏輯的起源與不完全性定理緊密相關，如亨金（Henkin）問題，可導性條件，洛布定理。在這種意義上，我們可以說不完全性定理是連接一階算術和模态邏輯的一種橋梁。 算術解釋的概念為我們提供了一種建立可證性邏輯和算術的元數學的關聯的重要工具。令人驚訝的是，可證性邏輯GL和GLS的索洛維（Solovay）算術完全性定理刻畫了算術可證集和算術真語句集間的區别。令   是Q的   -可靠的遞歸可公理化的擴充。GL的索洛維算術完全性定理告訴我們：對任意的模态公式   ，   在GL中可證當且僅當對任意的算術解釋   在PA中可證。GLS的索洛維算術完全性定理告訴我們：對任意的模态公式   ，   在GLS中可證當且僅當對任意的算術解釋   在算術的标準模型中為真。

我們知道不完全性定理（特别是G2）的證明取決于可證謂詞的性質。可證性邏輯是關于可證謂詞的性質的邏輯。不同的可證謂詞可能對應不同的可證性邏輯。基于不同可證性謂詞的可證性邏輯揭示了不同可證性謂詞的性質。 可證性邏輯給我們提供了一種理解不完全性的新視角和重要的工具。

 

六、對本文分析的一些讨論

基于上文對不完全性定理的深度的分析，本節我們進一步讨論與數學定理的深度相關的一些問題。

第一，基于現有文獻，我們沒有一個判斷數學定理是否深刻的一般标準。我們對“深刻”一詞沒有精确的定義，“數學深度”是個模糊的概念。一個自然的問題是：本文提出的分析論證不完全性定理的深度的三個标準是否也可看作判斷數學定理是否深刻的一般标準呢？成果的影響力、結論的豐富性和理論的統一性，這三個特征中的任何單個的特征都不是判斷一個數學定理是否深刻的充分條件。例如，有影響力的成果未必被公認為是深刻的；結論豐富的定理也未必被公認為是深刻的。關于成果的影響力、結論的豐富性和理論的統一性是否是判斷一個數學定理是否深刻的必要條件，文獻中是有争議的。本人傾向于認為這些特征都是判斷一個數學定理是否深刻的必要條件。一個深刻的數學定理應具有這些特征，盡管人們在論證數學定理具有這些特征時可能使用不同的數學證據。一個支持這種觀點的證據是：到目前為止，我們還沒有發現一個不具有這些特征的數學定理被公認為是深刻的。另一個自然的問題是：雖然單個特征不是判斷數學定理是否深刻的充分條件，成果的影響力、結論的豐富性和理論的統一性這三個特征的合取是否判斷一個數學定理是否深刻的充分條件？對此，我們是不清楚的，雖然我們認為對于分析論證不完全性定理的深度而言，這三個特征已經足夠。即使定理的深度僅可由成果的影響力、結論的豐富性和理論的統一性來刻畫，我們可以比較具有這些特征的不同定理的深度嗎？在本人看來，很難有一個統一的方法去比較不同數學定理的深度，雖然我們有可能比較兩個十分相近的定理的深度。我們提出的三個标準（成果的影響力、結論的豐富性、理論的統一性）是定性而非定量的。關于影響力的大小、結論豐富性的程度及理論統一性的程度，我們無法有精确的界定。即使不同的定理都具有成果的影響力、結論的豐富性和理論的統一性這些特征，我們對這些特征的分析論證及其使用的證據也是不同的。因此，我們很難提出一個比較不同數學定理的深度的一般方法。

第二，定理的深度不是定理内在的本質特征，而是關于這個定理的研究實踐的特征。數學定理的某些特征是定理内在的客觀特征，如結論的語法複雜性、定理的邏輯強度等。但數學定理的深度刻畫的是主體對數學定理的認知評價。因此，定理深度的評估與人們對定理的認知理解水平有關。在這種意義上，我們可以說定理的深度不是定理與生俱來的内在特征，而是在對此定理的研究實踐中學術共同體對此定理達成共識的學術評價。

第三，定理的深度具有曆史性和時間性。人們之前認為深刻的定理随着時間的推移可能不再被認為是深刻的。例如，在古希臘時代，人們認為“正方形的對角線的長度不是有理數”是個深刻的定理，然而，在今天這個定理被認為證明太簡單而不再被認為是深刻的。一個定理的深度被廣泛接受和認同通常是幾代學者對此定理研究的結果。一個定理剛發表時人們可能并未充分意識到此定理的深刻涵義從而不被廣泛認為是深刻的，然而其在後續研究實踐中可能被廣泛認為是深刻的。以不完全性定理為例，在哥德爾之後通過對不完全性定理的深入研究，人們才逐步全面的認識到不完全性定理成果的影響力、結論的豐富性和理論的統一性。哥德爾發表不完全性定理時可能他自己都沒意識或預想到不完全性定理會對數學基礎、哲學、經典數學和理論計算性科學産生如此重要、廣泛和持久的影響；不完全性定理會有如此多的不同證明和推廣形式，揭示出如此多的不同領域間的關聯統一性，第二不完全性定理是否成立會取決于這麼多的因素。在今天，不完全性定理的證明是本科高年級邏輯教材中的标準内容。哥德爾之後關于不完全性的一些研究在技術上比哥德爾的證明更加複雜（如關于具體不完全性的研究）。哥德爾之後人們對不完全性定理的研究已極大的更新和深化了我們對不完全性的理解，人們對不完全性定理理解的深度和廣度已超過了哥德爾時代對此定理的理解。因此，若不完全性定理的深度僅與哥德爾的初始證明有關，而與哥德爾之後對此定理的研究實踐無關，則我們可能不再認為不完全性定理是深刻的。最後，一個定理成果的影響力、結論的豐富性及理論的統一性都取決于對此定理的研究實踐的發展水平。然而，研究實踐是沒有限度的；随着研究的深入，人們會發現關于不完全性定理成果的影響力、結論的豐富性及理論的統一性的更多的數學證據。

第四，對數學定理的深度的評價不應僅基于個體的興趣和認知水平。因不同的個體對數學定理的深度可能有不同的判斷。對同一個定理，有些人可能認為它是深刻有趣的，而其他人卻可能不這樣認為。對數學基礎感興趣的數學家更容易認為不完全性定理是深刻的；而對數學基礎沒有興趣的數學家可能不認為不完全性定理是深刻的。雖然個體對一個數學定理是否深刻可能有不同的看法，但對一個學術共同體而言，對定理的深度的認識是可能達成共識的，從而可能是客觀的。數學定理的深度應由定理所在領域的學術共同體來評價，而不是由所有的學術共同體來評價。例如，不完全性定理的深度不應由拓撲學家來評價，而應主要由數理邏輯學家來評價。本文中對不完全性定理成果的影響力、結論的豐富性和理論的統一性的分析都是基于研究文獻中對不完全性定理研究的數學證據，而不是基于個人的偏好和興趣，盡管我們對文獻中關于不完全性定理的研究成果的知識是有限的，且因限于篇幅本文給出的數學證據也是有限的。從這個意義上，我們可以說本文對不完全性定理的深度的分析論證是客觀的。

下面我們描述一個判定給定的數學定理是否深刻的實際程序。 給定某領域   中的數學定理   ，   是否深刻可由領域   中國際上最頂尖的專家組成的學術委員會來判定：學術委員會可先确定判定此定理   是否深刻的達成共識的标準（如本文提出的影響力、豐富性和統一性标準），再根據這些标準集體判定定理   是否深刻。

關于數學定理的深度，有很多問題值得後續研究：如刻畫數學定理的深度的一般标準，比較不同定理的深度的方法及其可行性，數學定理的深度的客觀性，數學定理的深度和其他對象（如證明、論文、項目、哲學命題等）的深度之間的區别、純邏輯定理的深度與純數學定理的深度的區别等。本文探讨的是不完全性定理的數學深度，至于不完全性定理是否有哲學深度及（若有的話）它的哲學深度表現在哪些方面，這些有待進一步研究。

本文中，我們将不完全性定理作為研究數學定理的深度的一個案例。我們研究刻畫不完全性定理的深度的标準，及基于這些标準如何論證不完全性定理的深度。基于文獻中最新研究成果，我們提出刻畫不完全性定理的深度的三個标準：成果的影響力、結論的豐富性及理論的統一性，并論證了不完全性定理滿足這三個标準。希望本文對不完全性定理的深度的分析，能提供我們分析“數學深度”的新視角。

 

作者簡介：程勇，beat365体育官网教授。主要研究領域為數學基礎、數理邏輯、數學哲學，特别研究兩個核心概念：不完全性和大無窮。

文章來源：《哲學分析》, Vol.12, No.6, 2021年12月。因排版需要，此文符号略有改動且省略了原文的所有注釋。